$\mathbb{R}$

O objecto do Cálculo Diferencial e Integral pode ser descrito, de uma forma necessariamente vaga e imprecisa, como o estudo de duas operações a que vamos sujeitar funções reais de variável, a diferenciação e a integração. Pretendemos no entanto estabelecer uma base sólida para este estudo, e para isso vamos voltar a encarar o conjunto dos números reais, que designaremos por $\mathbb R$. Tal será feito axiomaticamente. Agruparemos os axiomas em axiomas de corpo, axiomas de ordem e axioma do supremo.

Consideramos um conjunto, que designamos como conjunto dos números reais, $\mathbb R$, onde estão definidas duas operações, isto é, funções que a pares de números reais associam outro número real, que designamos por adição ($x+y$) e produto ($x\cdot y$ ou abreviadamente $xy$). Além disso consideramos um subconjunto dos números reais, o dos números reais positivos, $\mathbb{R}^+$.

Os axiomas de corpo

Existência de elementos neutros

$\mathbb R$ contém dois números reais distintos que designamos $0$ e $1$, designando $0$ o elemento neutro da adição, isto é, para todo o $x\in\mathbb R$ temos $0+x=x+0=x$ e $1$ o elemento neutro do produto, isto é, para todos os $x\in\mathbb R$ temos $1 \cdot x=x\cdot 1=x$.

Comutatividade

A adição e o produto são comutativos, isto é, para todos os $x,y\in \mathbb R$ temos $x+y=y+x$ e $x\cdot y=y\cdot x$.

Associatividade

A adição e o produto são associativos, isto é, para todos os $x,y,z\in \mathbb R$ temos $(x+y)+z=x+(y+z)$ e $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$.

Distributividade

O produto é distributivo em relação à adição, isto é, para todos os $x,y,z\in \mathbb R$ temos $x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.

Existência de simétrico e inverso

Para cada $x\in\mathbb R$ existe $y\in\mathbb R$ (simétrico de $x$) tal que $x+y=0$ e, se $x\neq 0$, existe $z\in\mathbb R$ (inverso de $x$) tal que $x\cdot z=1$.

Consequências dos axiomas de corpo.

Proposição (Unicidade dos elementos neutros). ...

Proposição (Unicidade do simétrico e do inverso). ...

Proposição (Elemento absorvente do produto). Para todo o $x\in\mathbb R$ temos $0\cdot x=0$.

Demonstração. Para todo o $x\in\mathbb R$ temos $0\cdot x + x= 0\cdot x + 1\cdot x = (0 + 1)\cdot x = 0 \cdot x$. Portanto $0\cdot x$ verifica a definição de elemento neutro da adição e, como este é único, temos $0\cdot x = 0$.

Os axiomas de ordem

Convencionamos designar os simétricos de números positivos como números negativos e o respectivo conjunto como $\mathbb R^-$.

Fecho da adição e produto de números positivos

O resultado da adição e produto de números positivos é sempre um número positivo.

Tricotomia

$\mathbb R\setminus\{0\} = \mathbb R^+ \cup \mathbb R^-$ e $\mathbb R^+ \cap \mathbb R^- =\emptyset$.

Munidos da definição de números positivos e destes axiomas construímos uma relação de ordem para os números reais definindo $x\gt y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb R^+$ e definimos $\lt$, $\leq$ e $\geq$ com os significados habituais.

O axioma do supremo

Dado um conjunto $S\subset\mathbb R$, dizemos que $M\in\mathbb R$ é um majorante de $S$ se para todo o $x\in S$ temos $x\leq M$. Um majorante que é menor ou igual a qualquer outro majorante do conjunto diz-se supremo do conjunto. Um subconjunto não vazio de $\mathbb R$ que possui um majorante diz-se majorado.

Axioma do supremo

Qualquer subconjunto de $\mathbb R$ majorado e não vazio possui um supremo.

A COMPLETAR