Solução do 2º Teste, versão A, 2020/01/06

1. Calcule
   1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\log (1+\sen^2 x)}{1-\cos x}$,
      Solução

      Usando a regra de Cauchy \begin{align*}\lim_{x\to 0}\frac{\log (1+\sen^2 x)}{1-\cos x} & = \lim_{x\to 0}\frac{2\sen x \cos x/(1+\sen^2 x)}{\sen x}\\ & = \lim_{x\to 0}\frac{2 \cos x}{1+\sen^2 x} = 2\end{align*}

   2. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\int_0^{x^2}e^{t^2}\, dt}{\int_0^{x}t^2e^{t^2}\, dt}$.
      Solução

      Note-se que para $x\geq 1$ temos $\int_0^{x^2}e^{t^2}\, dt \geq \int_0^{x^2}1 \, dt=x^2 \to +\infty$ e $\int_0^{x}t^2e^{t^2}\, dt\geq \int_1^x e\, dt = (x-1)e \to +\infty$ de maneira que para resolver a indeterminação $\frac{\infty}{\infty}$ usamos nomeadamente a regra de Cauchy, o teorema de derivação da função composta e o teorema fundamental do cálculo para obter \begin{align*}\lim_{x\to +\infty}\frac{\int_0^{x^2}e^{t^2}\, dt}{\int_0^{x}t^2e^{t^2}\, dt} & = \lim_{x\to +\infty} \frac{2x e^{x^4}}{x^2 e^{x^2}} \\ & = \lim_{x\to +\infty} \frac{2 e^{x^4-x^2}}{x} \\ & = \lim_{x\to +\infty} (8x^3-4x)  e^{x^4-x^2} = +\infty.\end{align*}

2. Calcule
   1. $\displaystyle\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{(x^2+1)\arctg x}\, dx$.
      Solução

      \begin{align*}\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{(x^2+1)\arctg x}\, dx & =\int_1^{\sqrt{3}}\frac{d}{dx} \left(\log\arctg x\right)\, dx \\ &= \log\arctg\sqrt{3}-\log\arctg 1 =\log\frac{\pi}{3}-\log\frac{\pi}{4}=\log 4 -\log 3.\end{align*}

   2. $\displaystyle\int_0^1e^{-x}\log(1+e^{2x})\, dx$
      Solução

      Considerando a substituição $u=e^x$ obtemos \[\int_0^1e^{-x}\log(1+e^{2x})\, dx = \int_1^e \frac{1}{u^2}\log(1+u^2)\, du.\] Continuando, integrando por partes, obtém-se \begin{align*}\int_1^e \frac{1}{u^2}\log(1+u^2)\, du & = \int_1^e \frac{d}{du}\left(-\frac{1}{u}\right)\log(1+u^2) \, du \\ & = \left.\left[-\frac{1}{u} \log(1+u^2) \right]\right|^e_1 + \int_1^e \frac{1}{u} \frac{2u}{1+u^2}\, du\\ & = -\frac{1}{e} \log(1+e^2) +\log 2 + 2\arctg e - \frac{\pi}{2} \end{align*}

3. Calcule a área da região limitada pelas linhas de equação $y=\log x$ e $y=\frac{x}{e}\log x$.
   Solução

   Resolvendo a equação $\log x= \frac{x}{e}\log x\Leftrightarrow \log x \left(1-\frac{x}{e}\right)=0$ obtemos que as duas linhas intersectam-se nos pontos $(x,y)=(1,0)$ e $(x,y)=(e,1)$. Resolvendo a inequação $\log x\gt \frac{x}{e}\log x\Leftrightarrow \log x \left(1-\frac{x}{e}\right) \gt 0$ verificamos que $\log x\gt \frac{x}{e}\log x$ se e só se $x\in{]1,e[}$. Tal permite concluir que a única região limitada do plano que é limitada por estas linhas é $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\in[1,e], \frac{x}{e}\log x\leq y\leq \log x \}$.

   

   Daí que a área pretendida seja dada por \begin{align*}\int_1^e \log x -\frac{x}{e}\log x\, dx & = \left.\left[x\log x \right]\right|^e_1 - \int_1^e 1\, dx - \left.\left[ \frac{x^2}{2e}\log x \right]\right|^e_1 + \int_1^e \frac{x}{2e}\, dx \\ & = e - e + 1 - \frac{e}{2} +\frac{e}{4}-\frac{1}{4e}\\ & = 1 - \frac{e}{4} -\frac{1}{4e}.\end{align*}

4. 1. Decida se as seguintes séries são convergentes ou divergentes e se possível calcule a soma de uma delas.
      1. $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e^{n+1}+(-1)^n}{\pi^n}$.
         Solução

         A série pode exprimir-se como a soma de duas séries geométricas \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e^{n+1}+(-1)^n}{\pi^n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e^{n+1}}{\pi^n}+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\pi^n},\] de primeiros termos $e$ e $1$ e razões $\frac{e}{\pi}$ e $\frac{-1}{\pi}$ respectivamente. Como as razões têm módulo menor que $1$ trata-se de séries convergentes pelo que \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e^{n+1}+(-1)^n}{\pi^n}=\frac{e}{1-e/\pi}+\frac{1}{1+1/\pi}.\]

      2. $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\sqrt{n}}{2^n}$.
         Solução

         Seja $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}$. Então \[\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\frac{\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n}}\to \frac{1}{2}.\] Como este limite é menor do que $1$, a série é absolutamente convergente.

   2. Determine os valores de $x$ para os quais a série \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n (x-1)^n}{2\pi^n + 1}\] é absolutamente convergente, simplesmente convergente e divergente.
      Solução

      Trata-se de uma série de potências da forma $\sum a_n (x-1)^n$ com $a_n=\frac{(-1)^n}{2\pi^n + 1}$. Como \[\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{2\pi^{n+1} + 1}{2\pi^n + 1}\to \pi,\] a série de potências tem raio de convergência $\pi$. Portanto, se $x\in {]1-\pi, 1+\pi[}$, a série é absolutamente convergente e divergente se $|x-1|\gt \pi$. Se $x=1-\pi$ ou $x=1+\pi$, temos $|a_n|=\frac{\pi^n}{2\pi^n + 1}\not\to 0$ pelo que, também nestes casos, a série é divergente.

5. Seja \[f(x)=\int_{x-\frac{1}{x}}^{x}te^{-1/t}\, dt.\]
   1. Mostre que $f$ está definida para $x\in{\left]1,+\infty\right[}$.
      Solução

      Se $x\gt 1$ então $x-\frac{1}{x}\gt 0$ pelo que o intervalo de integração é da forma $[a,b]$ com $0\lt a\lt b$. Nesse intervalo a função integranda, $te^{-1/t}$ está definida e é contínua e, portanto, é integrável.

   2. Mostre que o limite $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)$ existe e é um número real no intervalo $\left]0,\frac{1}{2e}\right[$.
      Solução

      Seja \[\phi(t)=\begin{cases}te^{-1/t}, \text{se $t\gt 0$},\\ 0, \text{se $t=0$.}\end{cases}\] Como $\lim_{t\to 0^+}\phi(t)=\lim_{t\to 0^+}te^{-1/t}=0$, a função $\phi$ é contínua em $[0,+\infty[$ e portanto integrável em qualquer intervalo $[a,b]$ com $0\leq a\leq b$. Da continuidade do integral indefinido, continuidade da função composta e aditividade do integral relativamente ao intervalo de integração obtemos que a função definida para $x\geq 1$ por $\int_{x-\frac{1}{x}}^{x}\phi(t)\, dt$ é contínua valendo no ponto $1$ \[\int_{0}^{1}\phi(t)\, dt=\int_{0}^{1}te^{-1/t}\, dt=\lim_{x\to 1^+} f(x).\] Para estimar este integral usamos que $0\lt te^{-1/t}\lt \frac{t}{e}$ para todo o $t\in {]0,1[}$ donde $0\lt \int_{0}^{1}te^{-1/t}\, dt \lt \int_0^1 \frac{t}{e}\, dt=\frac{1}{2e}$.

   3. Mostre que $f$ é uma função limitada.
      Solução

      Notando que a função integranda é crescente e positiva, podemos estimar $f$ para $x\gt 1$ por \[0\lt f(x) \lt \frac{1}{x}x e^{-1/x}= e^{-1/x}\lt 1.\]