Solução do 1º Teste, versão B, 2018/11/10

1. Considere os seguintes subconjuntos de :

   1. Identifique os conjuntos e e mostre que
   2. Indique, ou justifique que não existem, , , , , .
   3. Decida justificadamente se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
      1. Se é uma qualquer sucessão de termos em , a sucessão converge para .
      2. Se é uma função contínua, tem máximo.
      3. Toda a sucessão estritamente decrescente de termos em tem limite .
   Solução

   1. Tem-se

      e

      Assim,

   2. , não é minorado, logo não existe , , e

   3. 1. Falsa: seja, para todo o , . A sucessão é de termos em e tem limite e não .

      2. Verdadeira: Pelo Teorema de Weierstrass, como é contínua e é um intervalo limitado e fechado, o conjunto tem máximo (e mínimo).

      3. Falsa: seja, para todo o , ; a sucessão tem termos em , é estritamente decrescente e .

2. Considere a sucessão definida por

   1. Use indução finita para mostrar que os termos da sucessão verificam , para todo o .
   2. Mostre, usando indução finita, que é uma sucessão crescente.
   3. Justifique que é convergente e calcule o seu limite.
   Solução

   1. Para verificamos que .

      Suponhamos agora que, para um certo , temos . Queremos provar que então .

      Para tal notamos que se então e . Como concluímos que .

   2. A sucessão ser crescente corresponde a para todo o .

      Com efeito, para , esta desigualdade é verificada pois

      Supondo agora que, para um certo , temos notamos que

   3. Sendo uma sucessão limitada e monótona, é necessariamente convergente.

      Designemos o limite de por . Passando ao limite na fórmula de recorrência obtemos donde .

3. Calcule, ou mostre que não existem em , os seguintes limites de sucessões:
   1. .
      Solução

      Seja . Então pelo que .

   2. Solução

      pelo que .

4. Considere a função dada por

   1. Decida se é ou não prolongável por continuidade ao ponto .
   2. Calcule e .
   3. Determine a derivada de .
   4. Determine os intervalos de monotonia e extremos (locais e absolutos) de .
   5. Determine .
   Solução

   1. Como obtemos que pelo que não é prolongável por continuidade ao ponto .

   2. Como e , obtemos, usando os limites do já referidos na alínea anterior, que
   4. O sinal de é determinado pelo sinal de . Portanto é estritamente crescente em , estritamente decrescente em , estritamente decrescente em e estritamente crescente em . Em particular será um ponto de máximo local em que o máximo é e será um ponto de mínimo local em que o mínimo é . Os pontos de extremo local não são pontos de extremo absoluto como se depreende facilmente dos valores dos limites laterais em ou dos limites em e .
   5. será um intervalo por aplicação do teorema do valor intermédio. Dos limites calculados em (a) e (b) e do mínimo e monotonia determinados em (d) concluímos que .

      

5. Seja uma função diferenciável com um mínimo em e derivada crescente. Mostre que a função definida por tem um máximo em .
   Solução

   Sendo uma função diferenciável com mínimo em temos . Sendo crescente podemos afirmar que se e se .

   Pelo teorema de derivação da função composta

   Como verficamos que se e se . Portanto tem um máximo em .