Solução do Exame, versão B, 2018/01/29

Dados os condicionalismos temporais no final do semestre e o facto de uma resolução do exame já não ser útil no mesmo semestre para preparação dos alunos, não é habitual fornecer a solução do exame. Assim, esta solução é parcial e só contém soluções de perguntas consideradas como interessantes para serem incorporadas nas fichas de trabalho da disciplina em anos lectivos ulteriores.

1º Teste

1. Considere os seguintes subconjuntos de $\mathbb{R}$: \[ A=\left\{x\in\mathbb{R}: \frac{3x^2-2x}{x^2-x-2}\geq 2\right\}, \qquad B=\left\{x\in\mathbb{R}: |x-1|\leq 3\right\}. \]
   1. Identifique os conjuntos $A$ e $B$ e mostre que \[ C=A \cap B={[-2,-1[}\cup {]2,4]}. \]
   2. Indique, ou justifique que não existem, $\sup C$, $\min C$, $\inf C\setminus\mathbb{Q}$, $\max(C\cap \mathbb{R}^-)$, $\min (C\cap\mathbb{Z})$.

   3. Decida justificadamente se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:

      1. Se $f$ é uma função contínua em $C$, $f$ tem mínimo em $C$.
      2. Se $(a_n)$ é uma sucessão de termos em $C$, a sucessão $\left(\frac{2^n a_n}{n!}\right)$ é convergente.
      3. O conjunto dos sublimites de uma sucessão de termos em $C$ é não vazio.

2. Considere a sucessão $(b_n)$ definida por \[\begin{cases}b_1=1, &\\ b_{n+1}=1 +\dfrac{b_n}{3} \; \cos(1/n), & \text{se $n\geq 1$.}\end{cases} \]

   1. Use indução finita para mostrar que os termos da sucessão verificam $b_n\in [1,3/2[$, para todo o $n\in \mathbb{N}_1$.
      Solução

      Notamos que $0\lt 1/n\leq 1 \lt \pi/2$ pelo que $\cos(1/n)\in {]0,1[}$.

      Para $n=1$ temos $b_1=1\in[1,3/2[$.

      Suponhamos que para um certo $n\in\mathbb{N}$ temos $b_n\in [1,3/2[$.

      Então \[b_{n+1} = 1 +\frac{b_n}{3} \; \cos(1/n) \gt 1\] em que usámos $\cos(1/n)\gt 0$.

      Por outro lado também \[b_{n+1} = 1 +\frac{b_n}{3} \; \cos(1/n)\lt 1 + \frac{3}{2\cdot 3}\cdot 1 = 1 + \frac{1}{2}= \frac{3}{2}\] em que usámos $\cos(1/n)\lt 1$.

      As propriedades verificadas completam a prova por indução de que $b_n\in [1,3/2[$ para todo o $n\in\mathbb{N}$.

   2. Use indução finita para mostrar que a sucessão $(b_n)$ é monótona crescente.
      Solução

      Provar por indução finita que $(b_n)$ é crescente corresponde a mostrar que para todo o $n\in\mathbb{N}$ temos $b_{n+1}\geq b_n$.

      De facto esta última afirmação verifica-se para $n=1$ pois $b_2=1+\frac{b_1}{3}\cos(1)=1+\frac{\cos(1)}{3}\gt 1 = b_1$.

      Suponhamos agora que para um certo $n\in\mathbb{N}$ temos $b_{n+1}\geq b_n$. Vamos mostrar que então também $b_{n+2}\geq b_{n+1}$.

      De facto então \[b_{n+2}=1+\frac{b_{n+1}}{3}\cos(1/(n+1))\gt 1 + \frac{b_n}{3}\cos(1/n)=b_{n+1}\] em que também usámos o facto de $\cos(1/{n+1})\gt \cos(1/n)$.

      As propriedades verificadas completam a prova por indução de que $b_{n+1}\geq b_n$ para todo o $n\in\mathbb{N}$.

   3. Justifique que $(b_n)$ é convergente e calcule o seu limite.
      Solução

      Das alíneas anteriores sabemos que a sucessão $(b_n)$ é monótona e limitada, logo convergente.

      Seja $b=\lim b_n$. Então $b=\lim b_{n+1}= 1 + \frac{b}{3} \lim \cos(1/n)= 1 + \frac{b}{3}$. Portanto $b$ satisfaz a equação $b=1+\frac{b}{3}$ que tem a solução única $b=3/2$. Portanto a sucessão $(b_n)$ converge com limite $3/2$.

3. Calcule, ou mostre que não existem em $\overline{\mathbb{R}}$, os seguintes limites de sucessões:
   1. $\lim \left[\sen\left(\frac{n \pi}{4}\right)\right]^n$,
      Solução

      Notamos que \[\left[\sen\left(\frac{n \pi}{4}\right)\right]^n=\begin{cases}0, & \text{se $n$ é um múltiplo de $4$,}\\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n , & \text{se $n=1$ ou $n=3$ módulo $8$,} \\ 1 , & \text{se $n=2$ módulo $4$,} \\ -\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n , & \text{se $n=5$ ou $n=7$ módulo $8$.} \\ \end{cases}\] Consequentemente a sucessão tem sublimites $0$ e $1$ pelo que não é convergente.

   2. $\lim \dfrac{(n+3)(2n-5)}{3+n(n+1)}$,
   3. $\lim \sqrt[n]{\dfrac{1+3^n}{n!}}$.
4. Considere a função $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por \[ f(x)=\begin{cases} \arctg(\frac{1}{x}), & \text{se $x\lt 0$,}\\ \frac{\pi}{2}e^{-x^2}, & \text{se $x\gt 0$.}\end{cases} \]
   1. Decida se $f$ é prolongável por continuidade ao ponto $0$.
   2. Calcule $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ e $\lim_{x\to -\infty} f(x)$.
   3. Determine a derivada de $f$.
   4. Determine o contradomínio de $f$.

5. Seja $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função contínua verificando $\varphi(0)=1$ e $\lim_{x\to +\infty}\varphi(x)=1$. Mostre que a equação $\varphi(x)=x^2$ tem, pelo menos, uma raíz.

2º Teste

6. Calcule os limites

   1. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}x^2\log\left(1-\frac{1}{x^2}\right)$,
   2. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^{x^4}\frac{\cos t}{t+1}\, dt}{\int_0^{x^2}\frac{\sen t}{t+1}\, dt}$.

7. 1. Calcule

      1. $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1+\log^3 x}{x}\, dx$,
      2. $\displaystyle \int_0^1 (1+x)e^{-x}\, dx$.

   2. Determine a função $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}$ que verifica todas as condições seguintes: \[\begin{cases} \forall_{x\neq 0}\quad f'(x)=\dfrac{1}{x^3+x}, \\ f(-1)=1, \\ f(1) = 0.\end{cases}\]

      Solução

      A solução será a primitiva de $f$ que vale $1$ em $-1$ e $0$ em $1$. Para determiná-la podemos começar por determinar uma primitiva e, graças à função não estar definida para $x=0$, adicionar constantes nos intervalos $]-\infty,0[$ e $]0,+\infty[$ de maneira a satisfazer os valores nos dois pontos.

      Para determinar uma primitiva começamos por notar que $f'$ é uma função racional própria cuja primitiva pode ser determinada usando decomposição em fracções simples. Com efeito, como $x^3+x=x(x^2+1)$, devemos ter \[\frac{1}{x^3+x}= \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\] para certas constantes $A$, $B$ e $C$ a determinar.

      Como reduzindo ao mesmo denominador na igualdade anterior obtemos que $1=A(x^2+1)+Bx^2+ Cx$, as constantes serão soluções do sistema \begin{align*}A+B &=0 \\ C&=0 \\ A&=1\end{align*} isto é, $A=1$, $B=-1$ e $C=0$. Portanto obtemos uma primitiva \[\int \frac{1}{x^3+x}\, dx = \int \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}\, dx = \log |x| - \frac{1}{2}\log(x^2+1).\]

      Como esta primitiva vale $-\frac{1}{2}\log 2$ em $1$ e em $-1$, devemos considerar \[f(x)=\begin{cases}\log (-x) - \frac{1}{2}\log(x^2+1) + \frac{1}{2}\log 2 + 1, & \text{se $x\lt 0$} \\ \log x - \frac{1}{2}\log(x^2+1) + \frac{1}{2}\log 2, & \text{se $x\gt 0$}.\end{cases}\]

8. Calcule a área da região do plano definida por \[\left\{(x,y):x\in{\left[0, \frac{\pi}{2}\right[}, \tg x\leq y\leq \sqrt{2}\sen x\right\}.\]

   Solução

   

   Começamos por notar que, para determinar a região de integração, devemos resolver $\frac{\sen x}{\cos x}\leq \sqrt{2}\sen x$ para $x\in {[0,\pi/2[}$. Como neste intervalo o $\sen$ é não negativo, consideramos a inequação $\frac{1}{\cos x}\leq \sqrt{2}$ com $x\in {[0,\pi/2[}$ que nos conduz a $x\in [0,\pi/4]$.

   Assim a área da região é dada por \[\int_0^{\pi/4}(\sqrt{2}\sen x - \tg x)\, dx = [-\sqrt{2}\cos x + \log \cos x]^{x=\pi/4}_{x=0} = -1 + \sqrt{2} +\log(\sqrt{2}/2).\]

9. Decida quais das seguintes séries são convergentes, quais são divergentes e, se possível, calcule a soma de uma delas:
   1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{\sen n}$,
      Solução

      Dado que $|\sen n|\in{]0,1[}$, podemos escrever $\left|\frac{n}{\sen n}\right|\gt n$ e portanto o termo geral da série não tende para $0$. Logo a série é divergente.

   2. $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2n^2+1}{n^4\sqrt{n}+2}$,
   3. $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n+2^n}{\pi^n}$.

10. Seja $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função contínua. Definindo \[g(x)=\int_0^x h(t-x)\, dt,\] justifique que $g$ é diferenciável em $\mathbb{R}$ e relacione a sua derivada com a função $h$.

    Solução

    Começamos por notar que a função integranda depende de $x$ o que impossibilita aplicar directamente o teorema fundamental do cálculo. No entanto podemos integrar por substituição para obter um integral em que não há dependência de $x$ na função integranda. Assim, consideramos a mudança de variável $u=t-x$ para obter $g(x)=\int_{-x}^0 h(u)\, du$. Para esta representação de $g$ já é lícito aplicar o teorema fundamental do cálculo e o teorema de derivação da função composta para obter $g'(x)=h(-x)$.