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Cálculo Diferencial e Integral I

Exercícios

Há um pequeno número de soluções disponíveis. Poderá querer consultar a versão anterior.

Séries

  1. Para cada uma das seguintes séries, estude a sua convergência, calculando, se possível, a sua soma.
    1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$,
      Sugestão

      Calcule o limite do termo geral.

    2. $\sum_{k=0}^{\infty} e^{k}\pi^{-2k}$,
      Sugestão

      Série geométrica

    3. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)(n+2)}$,
      Sugestão

      Para calcular a soma da série use decomposição em fracções simples para dar à série a forma $\sum a_{n+1}-a_n$ e daí obtenha uma forma explícita da sucessão de somas parciais.

      Solução

      \[\sum_{k=1}^n a_{k+1}-a_k = a_{n+1}- a_1.\] Daí que se existir $\lim a_n$ temos \[\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n+1}-a_n = \lim a_n - a_1.\] Tomando $a_n=-\frac{1}{n+1}$ temos $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ e \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}.\]

    4. $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2-1}$,
    5. $\sum_{n=1}^\infty\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$,
    6. $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{n}-\sqrt[n+1]{n+1}\right)$,
    7. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\pi^{-n+2}$,
    8. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n+(-1)^n}{4^n}$,
    9. $\sum_{n=1}^{\infty}\log\left( \frac{n}{n+1}\right)$,
    10. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^ne^{-n+1}}{2^{-n+1}}$,
    11. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}\sqrt{n}}$,
    12. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2n}+1}{3^n}$
    13. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+2)!}$,
    14. $\sum_{n=0}^{\infty} (2+(-1)^n)2^{-n}$,
    15. $\sum_{n=0}^{\infty} \arctg (n+1)- \arctg(n)$,
    16. $\sum_{n=1}^{\infty}\arcsin\left( \frac{n}{n+1}\right)$,
    17. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{k}}{k!}$.
    18. $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{\sen n}$,
      Solução

      Dado que $|\sen n|\in{]0,1[}$, podemos escrever $\left|\frac{n}{\sen n}\right|\gt n$ e portanto o termo geral da série não tende para $0$. Logo a série é divergente.

    19. $\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\frac{1}{n^2}$,
      Solução

      Como $\lim \cos\frac{1}{n^2}=1$ a série é divergente.

    20. $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^n 3^{n+1}}{4^n}$.
      Solução

      Trata-se de uma série geométrica de razão $-3/4$ e portanto convergente.

      A soma será \[\frac{3^3}{4^2}\frac{1}{1-(-3/4)}.\]

  2. Determine a natureza das seguintes séries usando critérios de convergência apropriados:
    1. $\sum_{n=0}^\infty\frac{n+1}{\sqrt{n^3+n^2+1}}$,
    2. $\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n}}{n^2+n!}$,
    3. $\sum_{n=2}^\infty\frac{n-4}{n^4-1}$,
    4. $\sum_{n=1}^\infty\frac{1+2^n}{1-2^n}$,
    5. $\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{n}{2n+\sqrt{n}}\right)^n$,
    6. $\sum_{n=1}^\infty\frac{1+2^{n+1}}{1+3^{n}}$,
    7. $\sum_{n=1}^\infty\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n^2}$,
    8. $\sum_{n=1}^\infty\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^3}$,
    9. $\sum_{n=2}^\infty\frac{n}{\sqrt[3]{n^6-1}}$,
    10. $\sum_{n=0}^\infty\frac{n}{n\sqrt{n}+1}$,
    11. $\sum_{n=0}^\infty \frac{(1000)^n}{n!}$,
    12. $\sum_{n=0}^\infty \frac{n-2^n}{n^2-3^n}$,
    13. $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(\log n)^n}$,
    14. $\sum_{n=2}^\infty \frac{\arctg n}{n^2-1}$,
    15. $\sum_{n=1}^\infty n\sen\frac{1}{n}$,
    16. $\sum_{n=1}^\infty \sen\frac{1}{n^2}$,
    17. $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\log n}$,
    18. $\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{n^{2}}}{\left(n^{n}\right)^{2}}$.
  3. (Exercício II.14 de [1]) Determine a natureza das seguintes séries:
    1. $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^3+4}$,
    2. $\sum_{n=0}^\infty\frac{n}{\sqrt{n^4+n^2+1}}$,
    3. $\sum_{n=0}^\infty\frac{n2^n}{e^n}$,
    4. $\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{n^2+2^n}$,
    5. $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$,
    6. $\sum_{n=0}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!}$,
    7. $\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{1+3^n}$,
    8. $\sum_{n=0}^\infty\frac{n^{1000}}{(1.001)^n}$,
    9. $\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{e^n}$,
    10. $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt[3]{n+1}\sqrt[4]{n+2}}$,
    11. $\sum_{n=0}^\infty\frac{[(2n)!]^2}{n!(3n)!}$,
    12. $\sum_{n=0}^\infty(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^3$,
    13. $\sum_{n=0}^\infty\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n+1)}{3\cdot 6 \cdot 9\cdots(3n+3)}$.
  4. (Exercício 2.13 de [2]) Determine a natureza de cada uma das séries \[\sum_{n=1}^\infty\frac{1+(-1)^n}{2n},\qquad \sum_{n=1}^\infty\frac{2+n!}{n!},\qquad \sum_{n=1}^\infty\left( \frac{2n-1}{3n+1}\right)^n.\]
    1. Determine a natureza das séries \[\text{i) }\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log n},\quad \text{ii) } \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log^2 n},\quad \text{iii) } \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2\log n},\quad \text{iv) } \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\log n}.\]
      Sugestão

      Utilize o critério do integral para i) e ii) e o critério de comparação para iii) e iv).

    2. Justifique que as séries \[ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log^\alpha n},\qquad \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha\log n}\] divergem para $\alpha\leq 1$ e convergem para $\alpha>1$.

  6. Mostre que a série \[\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\log(n+1/n)-\log n\right)\] é convergente.

    Sugestão

    Use o teorema de Lagrange ou a regra de Barrow para estimar \[\log(n+1/n)-\log n\] para $n\in\mathbb{N}_1$.

    Solução

    \[0 \lt \log(n+1/n)-\log n = \int_n^{n+1/n}\frac{1}{x}\, dx \leq \frac{1}{n}\max_{x\in [n, n+1/n]}\frac{1}{x}=\frac{1}{n^2} \] pelo que podemos comparar com a série $\sum\frac{1}{n^2}$ que é convergente.

    ou

    Do Teorema de Lagrange aplicado à função $\log$ no intervalo $[n,n+1/n]$, sabemos que existe $c_n\in{]n,n+1/n[}$ tal que \[\frac{\log(n+1/n)-\log n}{1/n}=\frac{1}{c_n}.\] Logo, \[\log(n+1/n)-\log n=\frac{1}{nc_n}\leq\frac{1}{n^2}\] e concluímos da mesma forma.

    1. Justifique que se $f$ é uma função real tal que $$\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}=L\in \mathbb{R}^+,$$ então, para qualquer sucessão $a_n\geq 0$ com $a_n\to 0$, as séries $\sum a_n$ e $\sum f(a_n)$ têm a mesma natureza.
    2. Determine a natureza das séries seguintes: \[\sum_{n=1}^\infty\sen\left(\frac{1}{n^\alpha}\right),\quad \sum_{n=1}^\infty \left(e^{1/n^\alpha}-1\right),\quad \sum_{n=1}^\infty \arctg \left(\frac{1}{n^\alpha}\right).\]
  8. (Exercício 2.15 de [2]) Sendo $(a_n)$ o termo geral de uma sucessão de termos positivos, indique, justificando, a natureza das séries \[\sum(1+a_n),\quad\quad \sum\frac{1}{n^2+a_n}.\]
  9. (Exercício 2.17 de [2]) Seja $(a_{n})$ uma sucessão de termos positivos e $(b_{n})$ uma sucessão limitada.
    1. Mostre que a convergência da série $\sum a_{n}$ implica a convergência da série $\sum a_{n}b_{n}$.
    2. Use o resultado anterior para provar que se a série $\sum a_{n}$ converge então também converge $\sum a_{n}^{2}$.
    3. Mostre, por meio de um contraexemplo, que a recíproca da proposição anterior é falsa.
  10. Determine a natureza das séries:
    1. $\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n}\left(\frac{1+n}{n}\right)$,
    2. $\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nn}{n^{3}+2}$,
    3. $\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}n^{3000}}{3^n}$,
    4. $\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$,
    5. $\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n}\sen\left(\frac{1}{n}\right)$,
    6. $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{\log n}$.
  11. (Exercício II.17 de [1]) Determine se são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as séries: \[ \text{a)} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} ,\qquad \text{b) } \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nn}{n^2+1}, \qquad \text{c) } \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nn}{n+2},\qquad \text{d) } \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{3^n}. \]
  12. Determine para que valores de $x\in\mathbb{R}$ as seguinte séries convergem absolutamente, simplesmente ou divergem: \[ \text{a) } \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^n},\qquad \text{b) } \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+2)^n}{(n+2)2^n},\qquad \text{c) } \sum_{n=0}^\infty\frac{(2x)^{3n}}{n+1},\qquad \text{d) } \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n2^{2n}x^n}{2n}. \]
  13. (Exame 9-1-2006) Determine para que valores de $x\in\mathbb{R}$ a seguinte série converge absolutamente, simplesmente ou diverge: \[\sum_{n=0}^\infty \frac{(nx)^n}{(n+1)^n}.\]
  14. (Exame 23-1-2006) Determine para que valores de $x\in\mathbb{R}$ a seguinte série converge absolutamente, simplesmente ou diverge: \[\sum_{n=0}^\infty \frac{n!(x-1)^n}{n!+1}.\]
  15. (Exercícios 2.34, 2.35, 2.43, 2.44 de [2]) Determine para que valores reais de $x$ são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as séries
    1. $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{n}$,
    2. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{nx^n}{n^2+1}$,
    3. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n}\left(\frac{x-2}{x}\right)^{n}$,
    4. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{n+1}$,
    5. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{1+8^n}(x-1)^n$.
  16. (Exercício II.18 de [1]) Determine os intervalos de convergência das séries seguintes, indicando em que pontos é cada série simplesmente ou absolutamente convergente:
    1. $\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}$,
    2. $\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$,
    3. $\sum_{n=0}^\infty\frac{(x-1)^n}{3^n+1}$,
    4. $\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+a)^n}{a^{n+1}}$,
    5. $\sum_{n=0}^\infty\frac{(5x+1)^{2n}}{n^2+1}$,
    6. $\sum_{n=0}^\infty [3+(-1)^n]^nx^n$.
  17. (Exercício 2.50 de [2]) Suponha que a série de potências de $x$ \[\sum a_nx^n\] é convergente no ponto $-3$ e divergente no ponto $3$.
    1. Indique, justificando, se a convergência da série no ponto $-3$ é simples ou absoluta.
    2. Indique o conjunto dos valores de $x$ para os quais a série é absolutamente convergente e o conjunto dos valores de $x$ para os quais a série é divergente.
    3. Dê um exemplo de uma série que verifique as condições requeridas no enunciado.
  18. Calcule a soma e o domínio de convergência das séries seguintes:
    1. $\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{n+2}$,
    2. $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(x+1)^{2n+1}$,
    3. $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n4^n}{(2n)!}x^{4n}$.
  19. Desenvolva as seguintes funções em série de Taylor no ponto $a$, indicando o menor intervalo aberto onde esse desenvolvimento é válido. Aproveite para determinar as respectivas derivadas de ordem $n$ em $a$.
    1. $f(x)= e^{2x+1}$, $a=0$,
    2. $f(x)=\frac{x}{2x+1}$, $a=0$,
    3. $f(x)=\cos(x+1)^2$, $a=-1$,
    4. $f(x)=\log x$ , $a= 2$,
    5. $f(x)=\int_0^xe^{-t^2}\,dt$, $a=0$,
    6. $f(x)=\int_0^x\sen{t^2}\,dt$, $a=0$,
    7. $f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$, $a=0$,
    8. $f(x)= \frac{1}{1+x}$, $a=1$,
    9. $f(x)=\arctg x^2$, $a=0$,
    10. $f(x)= \log(x^2+1)$, $a=0$.
  20. (Exercício IV.16 de [1]) Quando possível, desenvolva em série de Mac-Laurin as funções:
    1. $x^3+1$,
    2. $\log x$,
    3. $\log (x+3)$,
    4. $\frac{1}{(1-x)^3}$,
    5. $\frac{1}{x(x-1)}$
    6. $\frac{1}{(x-1)(x-2)}$,
    7. $\frac{1}{\sqrt{x}}$,
    8. $x{\arctg x}$,
    9. $\sen x \cos x$,
    10. $\sqrt{x-1}$,
    11. $\sqrt{x+1}$.
    Para os desenvolvimentos que não for possível obter, explique a razão desse facto; para os que tiver obtido, indique o intervalo em que representam a função considerada.
  21. (Exercício IV.17 de [1]) Questão análoga à anterior, sendo os desenvolvimentos em série de Mac-Laurin substituídos por desenvolvimentos em série de Taylor relativa ao ponto $1$ e as funções a desenvolver substituídas por:
    1. $x^2-x+1$,
    2. $\frac{1}{x}$,
    3. $e^x$,
    4. $x\log x$,
    5. $\frac{x}{(x+1)^2}$,
    6. $x^{-2}(x-1)^2$,
    7. $x^2(x-1)^{-2}$,
    8. $x\log (x-1)$,
    9. $\sqrt[3]{x-1}$,
    10. $\sqrt{x}$.
  22. Considere a função $f(x)=\frac{x^4}{1-2x}$.
    1. Desenvolva $f$ em série de potências de $x$ e indique um intervalo aberto no qual a função coincide com a série obtida.
    2. Utilize o desenvolvimento em série encontrado para determinar $f^{(n)}(0)$ e justifique que $f$ tem um mínimo local em $0$.
  23. (Exercício 4.158 de [2]) Desenvolva em série de potências de $x-1$ a função $f(x)=(x-1)e^x$ e indique os pontos em que a soma da série obtida é igual ao valor da função. Aproveitando o desenvolvimento obtido, calcule $f^{(n)}(1)$.
  24. (Exercício 4.146 de [2])
    1. Determine o raio de convergência da série de potências $\sum \frac{(x-1)^n}{3^n\sqrt{n}}$ e indique, justificando, em que pontos é que a série converge absolutamente.
    2. Supondo que a função $g$ é definida pela igualdade \[g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{3^n\sqrt{n}}\] no conjunto de todos os pontos onde a série é convergente, calcule $g(1)$ e $g''(1)$ e escreva a série de Taylor no ponto $1$ da função $x+ g'(x)$.
  25. (Exercício 4.154 de [2]) Desenvolva em série de MacLaurin a função $\phi(x)=x\log(1+x^3)$ e aproveite o desenvolvimento para justificar que a função tem um mínimo no ponto $0$.
    Sugestão

    mostre que $\phi'(0)=\phi''(0)=\phi'''(0)=0$ e observe o sinal de $\phi^{(4)}(0)$.

  26. Desenvolva a função \[ \phi(x)=\int_0^{x^2}\log(1+t^2)\,dt\] em série de MacLaurin, indicando o menor intervalo aberto onde esse desenvolvimento é válido. Decida se $\phi$ tem um extremo em $0$; em caso afirmativo, classifique-o.
  27. Prove que $e$ é irracional.
    Sugestão

    Suponha que $e=p/q$ com $p,q\in\mathbb N_1$. Use a série de Mac Laurin da exponencial para provar que $q!$ vezes o resto de ordem $q$ da série seria então um natural positivo menor que $1$!

Bibliografia

  1. J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa.
  2. Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico. Exercícios de Análise Matemática I/II, 2ª edição, 2005. IST Press, Lisboa.

Última edição desta versão: João Palhoto Matos, 21/10/2021 16:25:05.