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Cálculo Diferencial e Integral I

Exercícios

Primitivação

  1. Determine uma primitiva de cada uma das funções:
    1. $2x^2 + 3x^3$,
    2. $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$,
    3. $\frac{x^2-x+1}{\sqrt{x}}$,
    4. $\sqrt[3]{1-x}$,
    5. $\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt{x^3}}{x}$,
    6. $2x\sqrt[5]{x^2-1}$,
    7. $\frac{x^3}{3+x^4}$,
    8. $\frac{e^x}{1+2e^x}$,
    9. $\frac{\cos x}{1+\sen x}$,
    10. $\sen(2x)$,
    11. $\frac{\sen(2x)}{1+\sen^2x}$,
    12. $\cos^2x$,
    13. $\frac{1}{\cos^2x}$,
    14. $\frac{e^{\tg x}}{\cos^2x}$,
    15. $x\cos (x^2+2)$,
    16. $e^x\sen(e^x)$,
    17. $x^2\sqrt[3]{1+x^3}$,
    18. $\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$,
    19. $\frac{\sen x}{1+\cos^2x}$,
    20. $\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}$,
    21. $\frac{x+1}{\sqrt{1-x^2}}$,
    22. $\frac{x^3}{(1+x^4)^2}$,
    23. $\cos^3x\sqrt{\sen x}$,
    24. $\tg^2x$.
  2. (Exercício IV.22 de [2]) Determine uma primitiva de cada uma das funções:
    1. $(x^2+1)^3$,
    2. $e^{x+3}$,
    3. $2^{x-1}$,
    4. $\frac{1}{\sqrt[5]{1-2x}}$,
    5. $\frac{x}{1+x^2}$,
    6. $\frac{x^3}{x^8+1}$,
    7. $\operatorname{cotg} x$,
    8. $3^{\sen^2x}\sen 2x$,
    9. $\frac{\tg\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$,
    10. $\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$,
    11. $\frac{x}{(1+x^2)^\alpha}$,
    12. $\cos x \cos 2x$,
    13. $\sen^3 x\cos^4x$,
    14. $\tg^3x + \tg^4 x$.
    1. $\sqrt{2x}+\sqrt{\frac{x}{2}}$,
    2. $3\sen x + 2x^{2}$,
    3. $\frac{x^2}{1+x^3}$,
    4. $x e^{-x^{2}}$,
    5. $\frac{3\sen x}{(1+\cos x)^{2}}$,
    6. $x\sqrt{1+x^{2}}$,
    7. $e^{2\sen x}\cos x$,
    8. $\frac{1}{1+e^x}$,
    9. $\tg x$,
    10. $\frac{1}{2+ x^{2}}$,
    11. $\tg x \sec^3 x$,
    12. $\cos^3 x \sen^3 x$,
    13. $\frac{1}{(1+ x^{2})\arctg x}$,
    14. $\frac{x}{1+ x^{4}}$,
    15. $\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}$,
    16. $\frac{1}{1+3 x^{2}}$,
    17. $\frac{e^x}{e^{2x}+4}$,
    18. $\sqrt{\frac{\arcsen x}{1-x^2}}$,
    19. $\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}$,
    20. $\frac{x}{\sqrt{1-2x^4}}$,
    21. $\frac{1}{(x+1)^2}$,
    22. $\frac{\cos(\log x)}{x}$,
    23. $\frac{1}{x\log x}$,
    24. $\sec^4 x$.

  4. (Exercício IV.23 de [1]) Determine as funções que verificam as condições impostas em cada uma das alíneas seguintes:

    1. $f'(x)= \frac{1}{4+9x^2}$, $x\in\mathbb{R}$, $f(0)=1$.
    2. $g'(x)= \frac{1}{x-1}$, $x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$, $g(0)=0$, $g(2)=3$.
    3. $h'(x)=\operatorname{sec}^2 x$, para $x$ no dominio de $\operatorname{sec} x$, $h(k\pi)=k$, $k\in \mathbb{Z}$.

  5. (Exercício 5.5 de [2]) Para cada uma das funções definidas pelas expressões $x\sin(x^2)$, $\frac{e^x}{2+e^x}$, $\frac{1}{(1+x^2)(1+\arctg^2x)}$ determine se possível:

    1. uma primitiva que se anule no ponto $x=0$;
    2. uma primitiva que tenda para $0$ quando ${x\to +\infty}$.

  6. Calcule uma primitiva de cada uma das funções racionais (todas imediatamente primitiváveis):

    1. $\frac{1}{1-x}$,
    2. $\frac{1}{(x-3)^3}$,
    3. $\frac{x+1}{x^2+1}$,
    4. $\frac{x}{1+(x-1)^2}$,
    5. $\frac{2x+1}{x^2+4}$,
    6. $\frac{1}{x^2+2x+2}$.

  7. Calcule uma primitiva de cada uma das funções racionais:

    1. $\frac{1}{(x+1)(x-2)}$,
    2. $\frac{1}{x^2+x}$,
    3. $\frac{x+1}{x(x-1)^2}$,
    4. $\frac{x^2+x-4}{x(x^2+4)}$,
    5. $\frac{x^2+1}{x^2(x-1)}$,
    6. $\frac{x^5}{x^2-1}$,
    7. $\frac{x}{x^2+2x+3}$,
    8. $\frac{x}{(x+1)(x+2)^2}$,
    9. $\frac{x^3+2x^2+2x}{(x+1)^2}$,
    10. $\frac{x^5}{(x^3+1)(x^3+8)}$,
    11. $\frac{x^4}{x^4-1}$,
    12. $\frac{x^3+4x^2-4x}{x^4-16}$.
  8. Determine todas as primitivas de cada uma das funções do exercício anterior (nos respectivos domínios).

  9. (Exercício 5.16 de [2]) Determine

    1. Uma expressão geral das primitivas da função definida em $\mathbb{R}$ por \[f(x)=(x+1)e^{x^2+2x}.\]
    2. A primitiva $G$, da função \[g(x)=\frac{x+3}{x^4-x^2}\] definida no intervalo $]1,+\infty[$ e que verifica a condição $\lim_{x\to+\infty}G(x)=3$.
  10. (Exercício 5.3 de [2]) Determine uma função $F$ definida em $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ que obedece às seguintes condições: \[ F'(x)=\frac{1}{(x-1)^2},\qquad F(2)=0, \qquad \lim_{x\to-\infty}F(x)=10.\]
  11. (Exercício 5.12 de [2]) Determine a função $\psi:\left]-1, +\infty\right[\to \mathbb{R}$ que satisfaz as condições \[\forall_{x>-1}\; \psi^{\prime\prime}(x) =\frac{1}{1+x},\quad\psi(0)=\psi'(0)=1.\]

  12. Determine a função $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}$ que verifica todas as condições seguintes: \[\begin{cases} \forall_{x\neq 0}\quad f'(x)=\dfrac{1}{x^3+x}, \\ f(-1)=1, \\ f(1) = 0.\end{cases}\]

    Solução

    A solução será a primitiva de $f$ que vale $1$ em $-1$ e $0$ em $1$. Para determiná-la podemos começar por determinar uma primitiva e, graças à função não estar definida para $x=0$, adicionar constantes nos intervalos $]-\infty,0[$ e $]0,+\infty[$ de maneira a satisfazer os valores nos dois pontos.

    Para determinar uma primitiva começamos por notar que $f'$ é uma função racional própria cuja primitiva pode ser determinada usando decomposição em fracções simples. Com efeito, como $x^3+x=x(x^2+1)$, devemos ter \[\frac{1}{x^3+x}= \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\] para certas constantes $A$, $B$ e $C$ a determinar.

    Como reduzindo ao mesmo denominador na igualdade anterior obtemos que $1=A(x^2+1)+Bx^2+ Cx$, as constantes serão soluções do sistema \begin{align*}A+B &=0 \\ C&=0 \\ A&=1\end{align*} isto é, $A=1$, $B=-1$ e $C=0$. Portanto obtemos uma primitiva \[\int \frac{1}{x^3+x}\, dx = \int \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}\, dx = \log |x| - \frac{1}{2}\log(x^2+1).\]

    Como esta primitiva vale $-\frac{1}{2}\log 2$ em $1$ e em $-1$, devemos considerar \[f(x)=\begin{cases}\log (-x) - \frac{1}{2}\log(x^2+1) + \frac{1}{2}\log 2 + 1, & \text{se $x\lt 0$} \\ \log x - \frac{1}{2}\log(x^2+1) + \frac{1}{2}\log 2, & \text{se $x\gt 0$}.\end{cases}\]

  13. (Exercício IV.25 de [1]) Usando o método de primitivação por partes, calcule uma primitiva de cada uma das funções:

    1. $xe^x$
    2. $x\arctg x$,
    3. $\arcsen x$,
    4. $x\sin x$,
    5. $x^3e^{x^2}$,
    6. $\log^3x$,
    7. $x^n\log x$, $n\in\mathbb{N}$,
    8. $\frac{x^7}{(1-x^4)^2}$. 

  14. Usando o método de primitivação por partes, calcule uma primitiva de cada uma das funções:

    1. $e^x(e^x+x)$,
    2. $e^x\sen x$,
    3. $x^3 e^{-x^2}$,
    4. $\arctg x$,
    5. $\sqrt{x}\log x$,
    6. $x(1+x^2)\arctg x$,
    7. $\frac{x^5}{\sqrt{1+x^3}}$,
    8. $\log \left(\frac{1}{x}+1\right)$,
    9. $x^2 \log^2 x$,
    10. $\log^2 x$,
    11. $\frac{1}{x^3}\cos\frac{1}{x}$,
    12. $\cos 2x \log (\tg x)$,
    13. $3x\sqrt{1-x^2}\arcsen x$,
    14. $\frac{\log x}{(1+x)^2}$,
    15. $\operatorname{ch} x \cos x$,
    16. $3^x\cos x$,
    17. $\cos (\log x)$,
    18. $\frac{x^2}{(x^2+1)^2}$.
      Sugestão

      Note, para escolher as partes, que $\frac{x}{(x^2+1)^2}$ tem uma primitiva imediata.

    19. $\frac{1}{x(x^5+1)^2}$.
      Sugestão

      $\frac{1}{x(x^5+1)^2}=\frac{x^5+1-x^5}{x(x^5+1)^2}=\frac{1}{x(x^5+1)}-\frac{x^4}{(x^5+1)^2}$.

  15. Detemine uma primitiva de $\frac{1}{(x^2+1)^2}$.
    Sugestão

    Use o resultado da penúltima alínea do exercício anterior e a ideia da sugestão da última.

    1. Usando o método de primitivação por partes, mostre que, para $k\in\mathbb{N}$, $k\gt 1$, tem-se: \[\int\frac{x^2}{(1+x^2)^k}\, dx=\frac{1}{2(1-k)}\left(\frac{x}{(1+x^2)^{k-1}}-\int \frac{1}{(1+x^2)^{k-1}}\, dx\right).\]
    2. Justifique que, para $k\in\mathbb{N}$, $k\gt 1$, \[ \int\frac{1}{(1+x^2)^k}\, dx=-\frac{1}{2(1-k)}\frac{x}{(1+x^2)^{k-1}}+\left(1+\frac{1}{2(1-k)}\right)\int\frac{1}{(1+x^2)^{k-1}}\, dx.\]
      Sugestão

      Trata-se da generalização dos dois exercícios anteriores.

      $\frac{1}{(1+x^2)^k}=\frac{1}{(1+x^2)^{k-1}}-\frac{x^2}{(1+x^2)^k}$.

    3. Utilize a alinea anterior para calcular uma primitiva de \[\frac{1}{(1+x^2)^3}.\]

  17. Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções, utilizando substituições apropriadas:

    1. $\frac{e^{4x}}{e^{2x}+1}$,
    2. $\frac{1}{\sqrt[3]{x}(1+\sqrt[3]{x^4})}$,
    3. $\frac{\sqrt{x-1}}{x}$,
    4. $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}+1}$,
    5. $\frac{e^{2x}}{(e^{2x}-1)(1+e^x)}$,
    6. $\frac{1}{(2-x)\sqrt{1-x}}$,
    7. $\frac{1-\tg x}{1+\tg x}$,
    8. $\frac{\log x}{x(\log x-1)^2}$,
    9. $\frac{1}{x+\sqrt[3]{x^2}}$.

  18. (Exercícios 5.21, 5.23, 5.24, 5.26, 5.28, 5.31 de [2]) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções, utilizando substituições apropriadas:

    1. $\frac{1+\sqrt{x}}{x(4-\sqrt{x})}$,
    2. $\frac{1}{x\sqrt[4]{1+x}}$,
    3. $\frac{1}{1+e^{2x}}$,
    4. $\frac{e^{3x}}{(1+e^{2x})(e^x-1)^2}$,
    5. $\frac{2\log x-1}{x\log x(\log x-1)^2}$,
    6. $\frac{1}{\sen^2x\cos x}$.

  19. Determine, usando a substituição indicada, uma primitiva de cada uma das funções seguintes:

    1. $\sec x$, $t=\sen x$;
    2. $\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}$, $x=1/\cos t$;
    3. $\sqrt{1-x^2}$, $x=\sen t$.
    4. $\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}$, $x=\operatorname{ch} t$;
    5. $\frac{1}{1+\sen x +\cos x}$, $\tg\frac{x}{2}=t$;
      Sugestão

      As seguintes identidades serão úteis:\begin{align*}\sen x &=\frac{2\sen (x/2) \cos (x/2)}{\cos^2(x/2)+\sen^2(x/2)}= \frac{2\tg(x/2)}{1+ \tg^2(x/2)}=\frac{2t}{1+t^2}, \\ \cos x &=\frac{\cos^2(x/2)-\sen^2(x/2) }{\cos^2(x/2)+\sen^2(x/2)}= \frac{1-\tg^2(x/2)}{1+ \tg^2(x/2)}=\frac{1-t^2}{1+t^2}.\end{align*}

    6. $\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^4}$, $x=\cos t$;
    7. $\frac{e^{x/2}}{\sqrt{1-e^x}}$, $t=\sqrt{1-e^x}$;
    8. $\frac{\sqrt{x+1}}{1+\sqrt[3]{x+1}}$, $x=t^6-1$;
    9. $\frac{\sen x}{1-\sen x}$, $\tg\frac{x}{2}=t$;
    10. $\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$, $x=\sen^2 t$;
    11. $\sqrt{1-2x-x^2}$, $x=t-1$, $t=\sqrt{2}\sen s$;
    12. $\frac{1}{(x+1)^2\sqrt{x^2+2x+2}}$, $x+1=\tg t$;
    13. $\frac{1}{(x+1)^2\sqrt{x^2+2x+2}}$, $x+1=\operatorname{sh} t$;
    14. $\frac{3\sen x+3}{\cos x+\sen 2x}$, $t=\sen x$;
    15. $\operatorname{sec}^3 x$, $t=\sen x$;
    16. $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $x=\tg t$;
    17. $\frac{\cos x}{1+\sen x -\cos^2 x}$, $t=\sen x$;
    18. $\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$, $t=\sqrt{1-x^2}$;
    19. $\frac{1}{\sqrt{1+e^x}}$, $t=\sqrt{1+e^x}$;
    20. $\sqrt{4+x^2}$, $x=2\tg t$;
    21. $\frac{x(x-1)}{\sqrt{x^2-1}}$, $x=1/\cos t$.

  20. (Exercício 5.21 de [2]) Determine, ou justifique que não existem, funções que verifiquem as seguintes condições:

    1. $f'(x)= \frac{\arctg x}{1+x^2}$, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
    2. $g'(x)=\frac{1+\sqrt{x}}{x(4-\sqrt{x})}$, se $x\gt 16$, $\lim_{x\to+\infty}g(x)=1$.

  21. (Exercício 5.24 de [2]) Determine, ou justifique que não existem, funções que verifiquem as seguintes condições:

    1. $f''(x)= (1+\sin x)\cos x$, $f'(0)=0$, $f(0)=3$.
    2. $g^\prime(x)=\frac{1}{1+e^{2x}}$, $\lim_{x\to+\infty}g(x)=1$.

  22. Determine, utilizando métodos de primitivação adequados, uma primitiva de cada uma das seguintes funções:

    1. $|x|$,
    2. $x\arcsin\frac{1}{x}$,
    3. $\sen(\log x +1)$,
    4. $\sen^2x\cos^2 x$,
    5. $\sqrt{x}\arctan\sqrt{x}$,
    6. $\frac{1+\log^2 x}{x\left(1+\log x\right)}$,
    7. $\frac{e^{-x}}{e^{2x}-2e^{x}+2}$,
    8. $\frac{x\log x}{\sqrt{1-x^2}}$,
    9. $\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}$,
    10. $\cos^3x$,
    11. $\cos^4x$,
    12. $\frac{5x}{\sqrt{1+x^4}}$,
    13. $\frac{1}{x^8+x^6}$,
    14. $x\log\frac{1-x}{1+x}$,
    15. $\sinh^2 x$,
    16. $\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}$,
    17. $\frac{\log(\log x)}{x\log x}$,
    18. $\log(x+\sqrt{x})$,
    19. $\frac{1}{x^3}e^\frac{1}{x}$,
    20. $\cos x\log (1+\sin^2x)$,
    21. $\frac{\log(\log x)}{x}$,
    22. $x\arctg^2x$,
    23. $\displaystyle \frac{\log(1+ x)}{\sqrt{1+x}}$,
    24. $\frac{1}{\sin x}$,
    25. $\frac{x \cos x}{\sen^2 x}$,
    26. $\frac{\sen x}{1+3\cos^2 x}$,
    27. $\log(\cos x)\tg x$,
    28. $\frac{1}{(x+1)\sqrt{x+2}}$,
    29. $(\arcsen x)^2$,
    30. $\frac{1}{\cos x(1-\sen x)}$,
    31. $\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sen^2 x}}$.

    1. Mostre que, para $n\in \mathbb{N}_{1},$ é válida a seguinte fórmula de recorrência:

      \[ \int \log^n|x|\, dx = x\log^n|x|-n\int \log^{n-1}|x|\, dx, \text{ se } x\neq 0. \]

    2. Aproveite o resultado anterior para calcular todas as funções $F(x)$ tais que $F'(x)=\log^2|x|$, e que verificam a condição $F(1)+F(-1)=0$.

    3. Utilizando o método de primitivação por partes, determine primitivas das funções $\sec^3 x$ e $\sec^4 x$.

    4. Mostre que, para inteiros $n\geq 2$, é válida a expressão

      \[ \int \sec^n x \, dx = \frac{1}{n-1}\tg x\sec^{n-2}x+\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2} x\, dx. \]

  24. Determine uma função $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que verifique as condições seguintes:

    \[ \varphi''(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2},\qquad \lim_{x\rightarrow -\infty}\varphi'(x)=-1,\qquad \lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x)=\frac{\pi}{2}. \]
  25. Prove que a função de Heaviside não é primitivável em $\mathbb{R}$.
    Sugestão

    Argumente por redução ao absurdo.

Bibliografia

  1. J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa.
  2. Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico. Exercícios de Análise Matemática I/II, 2ª edição, 2005. IST Press, Lisboa.

Última edição desta versão: João Palhoto Matos, 15/10/2023 13:58:36.