Exercícios
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Cálculo Diferencial
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(Exercício IV.1 de [1]) Calcule as derivadas das funções:
- $\tg x-x$,
- $\frac{x+\cos x}{1-\sen x}$,
- $e^{\arctg x}$,
- $ e^{\log^2 x}$,
- $ \sen x \cos x \tg x$,
- $ x^2(1+\log x)$,
- $\cos(\arcsen x)$,
- $(\log x)^x$,
- $x^{\sen2x}$,
- $x^{x^{x-1}}$.
Solução
\begin{align*}\frac{d}{dx}\left(x^{x^{x-1}}\right) & = \frac{d}{dx} \left(e^{x^{x-1}\log x}\right) \\ & = \frac{d}{dx} \left(e^{ e^{(x-1)\log x} \log x}\right) \\ & = x^{x^{x-1}} \frac{d}{dx}\left(e^{(x-1)\log x} \log x\right) \\ & = x^{x^{x-1}} \left( x^{x-1} \log x \frac{d}{dx} \left( (x-1)\log x \right) + \frac{x^{x-1}}{x}\right) \\ & = x^{x^{x-1}} \left( x^{x-1} \log^2 x+ x^{x-1} \log x - x^{x-2} \log x + x^{x-2}\right)\end{align*}
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Diferencie:
- $\arctg x^{4}-(\arctg x)^{4}$,
- $(\sen x)^{x}$,
- $\log\log x$,
- $\frac{\sen\sen x}{\sen x}$,
- $(\arctg x)^{\arcsen x}$.
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(Exercício IV.3 de [1]) Para cada uma das seguintes funções determine o domínio de diferenciabilidade e calcule as respectivas derivadas:
- $ x|x|$,
- $ e^{-|x|}$,
- $\log|x|$,
- $e^{x-|x|}$.
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(Exercício 4.9 de [2]) Determine o domínio, o domínio de diferenciabilidade e calcule a derivada das seguintes funções:
- $\log(x\operatorname{sh} x)$ (ver Ex. 14),
- $\arcsen(\arctg x)$,
- $\frac{e^x}{1+x}$.
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Calcule, se existirem, as derivadas laterais no ponto $0$ da função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por \[ f(x)=\begin{cases} \frac{x}{1+e^{1/x}},&\text{se $x\not= 0$,}\\ 0,&\text{se $x=0$.} \end{cases} \]
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(Exercício 4.2 de [2]) Determine as derivadas laterais no ponto $0$ da função $f$ contínua em $\mathbb{R}$ e cujos valores para $x\neq 0$ são dados por
\[
f(x)=x \frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{2+e^{\frac{1}{x}}}.
\] -
Considere a função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por:
\[ f(x)=\begin{cases} x^2\sen\left( \frac{1}{x}\right), &\text{se $x\neq 0$,} \\ 0, &\text{se $x=0$.} \end{cases} \]- Justifique que $f$ é diferenciável em $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, calcule $f'$ para $x\neq 0$ e mostre que $\lim_{x\to 0} f'(x)$ não existe.
- Justifique que $f$ é diferenciável no ponto $0$ e calcule $f'(0)$.
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Sejam $f$ e $g$ duas funções em $\mathbb{R}$ tais que $f$ é diferenciável em $\mathbb{R}$, verifica $f(0)=f(\pi)=0$, e $g$ é dada por $g(x)=f(\sen x)+\sen (f(x))$. Obtenha o seguinte resultado:
\[ g'(0)+g'(\pi)=f'(0)+f'(\pi). \] -
Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, diferenciável. Calcule $\frac{d}{dx}(\arctg f(x)+f(\arctg x))$.
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Sendo $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função duas vezes diferenciável, considere a função $\varphi:{]0,+\infty[}\to\mathbb{R}$ definida por $\varphi(x)=e^{g(\log x)}$. Determine $\varphi'(1)$ e $\varphi''(e)$ em função de valores de $g$, $g'$ e $g''$ em pontos convenientes.
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Sendo $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $f(x)=x^{4}e^{-x}$ para todo o $x$, e sendo $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ diferenciável, calcule $(g\circ f)'(x)$ em termos da função $g'$.
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Seja $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ uma função diferenciável e estritamente monótona, com $g(0)=2$ e $g'(0)=\frac{1}{2}$. Considere $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=g(\arcsen x)$.
- Justifique que $f$ é diferenciável em $]-1,1[$ e calcule $f'(0)$.
- Justifique que $f$ é injectiva e, sendo $f^{-1}$ a sua inversa, calcule $\left( f^{-1}\right)'(2)$.
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(Exame de 14-6-06) Considere uma função $f:\mathbb{R}\to {]-1,1[}$ diferenciável e bijectiva, tal que $f(2)=0$ e $f'(2)=2$. Seja $g$ a função definida por \[g(x)=\arcos\left( f(x)\right).\]
- Justifique que $g$ é injectiva e diferenciável e, sendo $g^{-1}$ a função inversa de $g$, determine $g'(2)$ e $(g^{-1})'\left( \frac{\pi}{2}\right)$.
- Determine o domínio de $g^{-1}$ e justifique que $g^{-1}$ não tem máximo nem mínimo. Será $g^{-1}$ limitada?
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As funções seno hiperbólico e coseno hiperbólico definem-se da forma seguinte:
\[\operatorname{sh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\qquad \operatorname{ch} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.\]- Deduza as igualdades (comparando-as com as correspondentes para as funções trigonométricas):
- $\operatorname{ch}^{2}x-\operatorname{sh}^{2}x=1$;
- $\operatorname{sh} (x+y)=\operatorname{sh} x\operatorname{ch} y + \operatorname{ch} x\operatorname{sh} y$;
- $\operatorname{ch} (x+y)=\operatorname{ch} x \operatorname{ch} y +\operatorname{sh} x \operatorname{sh} y$;
- $\operatorname{sh} 2x = 2\operatorname{sh} x\operatorname{ch} x$;
- $\operatorname{ch} 2x = \operatorname{ch}^{2}x+\operatorname{sh}^{2}x$;
- $\operatorname{sh}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\operatorname{ch} x -1}{2}$;
- $\operatorname{ch}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\operatorname{ch} x -1}{2}$.
- Verifique que a função $\operatorname{sh}$ é ímpar, e a função $\operatorname{ch}$ é par. e que $\operatorname{ch} x\geq 1$, para qualquer $x\in\mathbb{R}$.
- Calcule $\lim_{x\to +\infty} \operatorname{sh} x$, $\lim_{x\to +\infty} \operatorname{ch} x$, $\lim_{x\to -\infty} \operatorname{sh} x$, $\lim_{x\to -\infty} \operatorname{ch} x$.
- Estude $\operatorname{sh}$ e $\operatorname{ch}$ quanto à continuidade e diferenciabilidade. Calcule $(\operatorname{sh} x)'$ e $(\operatorname{ch} x)'$.
- Estude $\operatorname{sh}$ e $\operatorname{ch}$ quanto a intervalos de monotonia e extremos e esboce os respectivos gráficos.
- A função $\operatorname{sh}$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$, e a função $\operatorname{ch}$ é estritamente decrescente em $]-\infty,0]$ e estritamente crescente em $[0,+\infty[$.
- As funções inversas das funções hiperbólicas $\operatorname{sh}$ e $\operatorname{ch}$ designam-se, respectivamente por $\operatorname{argsh}$ e $\operatorname{argch}$, isto é, $x=\operatorname{sh} y$ sse $y=\operatorname{argsh} x$, $y\in \mathbb{R}$, e $x=\operatorname{ch} y$ sse $y=\operatorname{argch} x$, $y\in\mathbb{R}^+$. Deduza \[ \operatorname{argsh} x=\log (x+\sqrt{x^{2}+1})\,\qquad \operatorname{argch} x=\log(x+\sqrt{x^{2}-1}). \]
- Calcule $(\operatorname{argsh} x)'$ e $(\operatorname{argch} x)'$.
- Deduza as igualdades (comparando-as com as correspondentes para as funções trigonométricas):
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(Exercício 4.27 de [2]) Seja $f:{\left]0,1\right[}\to \mathbb{R}$ uma função diferenciável tal que
\[ f\left(\frac{1}{n+1}\right)=0,\qquad \text{ para todo o $n\in\mathbb{N}_1$.} \]Diga se cada uma das seguintes proposições é verdadeira ou falsa. Justifique as respostas.
- Para qualquer $n\geq 2$, a restrição da função $f$ ao intervalo $\left[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]$ tem necessariamente um máximo.
- A função $f$ é necessariamente limitada.
- A função $f'$ tem necessariamente infinitos zeros.
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Prove que se $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é duas vezes diferenciável e o seu gráfico cruza a recta $y=x$ em três pontos, então $f''$ tem pelo menos um zero.
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Prove que a equação $3x^2-e^x=0$ tem exactamente três zeros.
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(Exercício 4.32 de [2]) Prove que se $f:\mathbb{R}^+_0\to\mathbb{R}$ é diferenciável e satisfaz $f(n)=(-1)^n$, para $n\in\mathbb{N}$, então a sua derivada não tem limite no infinito.
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(Exercício 4.36 de [2]) Seja $f$ uma função diferenciável em $\mathbb{R}$ tal que $f(0)=0$ e cuja derivada é uma função crescente. Mostre que a função definida por $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ é crescente em $\mathbb{R}^{+}$.
Sugestão
Aplique o Teorema de Lagrange a $f$ num intervalo adequado para mostrar que $g'(x)\geq 0$.
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Prove que se $f$ é de classe $C^1$ em $\mathbb{R}$ e a equação $f(x)=x^2$ tem três soluções, sendo uma negativa, uma nula e outra positiva, então $f'$ tem pelo menos um zero.
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(Exercício IV.7 de [1]) Determine intervalos de monotonia, extremos locais e extremos absolutos (se existentes) para as funções:
- $\frac{x}{x^2+1}$,
- $\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$,
- $|x^2-5x+6|$,
- $x\log x$,
- $e^{-x^2} $,
- $\frac{e^x}{x}$,
- $xe^{-x}$,
- $\arctg x - \log\sqrt{1+x^2}$.
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(Exame 23-7-2000) Considere a função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)=|x|e^{-\frac{x^2}{2}}$.
- Calcule $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.
- Determine o domínio de diferenciabilidade de $f$ e calcule $f'$.
- Determine os intervalos de monotonia e, se existirem, pontos de extremo, classificando-os quanto a serem máximos, mínimos, relativos ou absolutos.
- Determine, justificando, o contradomínio de $f$.
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(Exame 15-1-2003) Considere a função $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por: \[ g(x)=\begin{cases} e^x+\alpha x+\beta &\text{se $x\leq 0$,}\\ \arctg\left( e^x+e^{-x}-1\right) &\text{se $x>0$.} \end{cases} \] onde $\alpha$ e $\beta$ são constantes reais.
- Determine $\alpha$ e $\beta$ sabendo que $g$ tem derivada finita em $x=0$.
- Determine $\lim_{x\to-\infty} g(x)$, $\lim_{x\to+\infty} g(x)$.
- Estude $g$ quanto à diferenciabilidade e calcule $g'$ nos pontos onde existir.
- Estude $g$ quanto à existência de extremos e intervalos de monotonia.
- Determine o contradomínio de $g$.
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Considere a função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)=|x|e^{-|x-1|}$.
- Calcule $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.
- Determine o domínio de diferenciabilidade de $f$ e calcule $f'$.
- Determine os intervalos de monotonia e, se existirem, pontos de extremo, classificando-os quanto a serem pontos de máximo, de mínimo, relativos ou absolutos.
- Determine, justificando, o contradomínio de $f$.
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(Exame 9-1-06) Considere a função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por:
\[f(x)= x+2\arctg |x|.\]- Calcule ou mostre que não existem: $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.
- Determine o domínio de diferenciabilidade de $f$ e calcule a derivada $f'$.
- Determine os intervalos de monotonia e, se existirem, pontos de extremo relativo, classificando-os quanto a serem máximos, mínimos, relativos ou absolutos.
- Determine o contradomínio da restrição de $f$ ao intervalo $]-\infty, 0]$.
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Considere a função $f:\mathbb{R} \to\mathbb{R}$ dada por \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{1+x^2} , & \text{se $x>0$,}\\ -e^x\sen x, & \text{se $x\leq 0$.} \end{cases}\]
- Estude $f$ quanto à continuidade.
- Calcule $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$ e $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$.
- Calcule a função derivada $f'$ em todos os pontos onde esta estiver definida.
Solução
- $f$ é contínua em $]0,+\infty[$ porque é uma função racional. $f$ é contínua em $]-\infty,0[$ porque é produto de duas funções contínuas. Quanto ao ponto $0$, $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{1+x^2}=0=f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^-}-e^x\sen x$, o que mostra que $f$ é contínua em $0$. Assim, $f$ é contínua em $\mathbb{R}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-e^x\sen x=0$, porque é produto de um infinitésimo por uma função limitada. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{1+x^2}=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}=0 $,
- Para $x\gt 0$ ou $x\lt 0$ as regras de derivação usuais são aplicáveis e obtemos \[f'(x)=\begin{cases} \dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}, & \text{se $x\gt 0$,}\\ -e^x(\cos x+\sen x), & \text{se $x\lt 0$.}\end{cases}\] Para $x=0$ poderíamos calcular as derivadas direita e esquerda em $0$ através da definição ou, em alternativa, usar o raciocínio que se seque.
Como, para $x\lt 0$, $f$ é a restrição da função definida em $\mathbb{R}$ por $-e^x\sen x$, a derivada desta função em $0$ coincidirá com o valor da derivada esquerda de $f$ em $0$. Assim $f'_e(0)=-1$. De maneira análoga, como, para $x\geq 0$, $f$ é a restrição da função definida em $\mathbb{R}$ por $ \dfrac{x}{1+x^2}$, a derivada desta última na origem dá-nos o valor da derivada direita de $f$ em $0$, isto é, $f'_d(0)=1$. Assim $f$ não é diferenciável em $0$.
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Considere a função $f:\mathbb{R}\setminus\{0\} \to\mathbb{R}$ dada por \[ f(x)=\begin{cases} \frac{\pi}{2}+\arctg\frac{1}{x}, & \text{se $x<0$,}\\ \frac{x}{1+x^2}, & \text{se $x>0$.} \end{cases} \]
- Calcule $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$ e $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$.
- Justifique que $f$ é diferenciável e obtenha a função derivada $f'$.
- Verifique que existe o prolongamento por continuidade $F$ de $f$ ao ponto $x=0$.
- Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de $F$.
- Determine justificadamente o contradomínio de $f$.
Solução
- $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(\dfrac{\pi}{2}+\arctg\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ e $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{1+x^2}=0$.
- Tanto em $\mathbb{R}^-$ como em $\mathbb{R}^+$, $f$ é diferenciável: de facto, em $\mathbb{R}^-$ trata-se da soma de uma constante com a composta de duas funções diferenciáveis ($\arctg$ e uma função racional) e em $\mathbb{R}^+$ a função é racional. Além disso, $f':\mathbb{R}\setminus\{0\} \to\mathbb{R}$ é dada por \[ f'(x)=\begin{cases} -\dfrac{1}{x^2+1}, & \text{se $x<0$,}\\ \dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}, & \text{se $x>0$.} \end{cases} \]
- Como $\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0$, a função é prolongável por continuidade ao ponto $0$, sendo o prolongamento $F:\mathbb{R} \to\mathbb{R}$ dado por $F(x)=f(x)$ se $x\neq 0$ e $F(0)=0$.
- Tem-se $f'(x)\gt 0$ para $x\in{]0,1[}$ e $f'(x)\lt 0$ para $x\in{]-\infty,0[}\cup {]1,+\infty[}$. Logo $F$ é estritamente decrescente em $]-\infty,0[$ e estritamente crescente em $]0,1[$, pelo que tem um mínimo local em $x=0$ com $F(0)=0$. Sendo também estritamente decrescente em $]1,+\infty[$, tem um máximo local em $x=1$ com $F(1)=1/2$.
- Sabemos já que $f$ é estritamente decrescente em $]-\infty,0[$. Considerando também os limites para $0$ e $-\infty$, o teorema do valor intermédio garante que $f({]-\infty,0[})={\left]0,\frac{\pi}{2}\right[}$.
Analogamente, usando o que sabemos do crescimento de $f$ em $]0,1]$ e em $[1,+\infty[$, os limites para $0$ e $+\infty$ e o teorema do valor intermédio, verificamos que $f({]0,+\infty[})={\left]0,\frac{1}{2}\right]}$.
Assim o contradomínio de $f$ é $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$.
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(Exame 23-1-06) Seja $g$ uma função diferenciável tal que $g(0)=g'(0)=0$ e $g'$ é uma função estritamente monótona. Define-se \[\varphi(x)=2\tg\left(g(x)\right)-g(x).\] Mostre que $\varphi(0)$ é um extremo local de $\varphi$.
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(Exercício 4.48 de [2]) Seja $f$ uma função definida numa vizinhança de zero $V_{\epsilon}(0)$, diferenciável em $V_{\epsilon}(0)\setminus \{0\}$ e tal que $xf'(x)\gt 0$ para todo o $x\in V_{\epsilon}(0)\setminus \{0\}$.
- Supondo que $f$ é contínua no ponto $0$, prove que $f(0)$ é um extremo de $f$ e indique se é máximo ou mínimo. No caso de $f$ ser diferenciável em $0$ qual será o valor de $f'(0)$?
- Mostre (por meio de um exemplo) que sem a hipótese da continuidade de $f$ no ponto $0$ não se pode garantir que $f(0)$ seja um extremo de $f$.
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(Exercício IV.12 de [1]) Calcule os limites:
- $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-b^x}{x}$,
- $\lim_{x\to+\infty}\frac{\log(x+e^x)}{x}$,
- $\lim_{x\to 1}(\log x\cdot\log\log x)$,
- $\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{-1/x}}{x}$,
- $\lim_{x\to 0^-}\frac{e^{- 1/x}}{x}$,
- $\lim_{x\to 1^+}x^{\log\log x}$,
- $\lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x-1}}$.
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(Exercício 4.59 de [2]) Determine os limites:
- $\lim_{x\to 0}\frac{10^x-5^x}{x}$,
- $\lim_{x\to 0^+} \frac{x^2\sen \frac{1}{x}}{\sen x}$.
- Calcule $\lim_{x\to 0}\dfrac{\log (1+\sen^2 x)}{1-\cos x}$,
Solução
Usando a regra de Cauchy \begin{align*}\lim_{x\to 0}\frac{\log (1+\sen^2 x)}{1-\cos x} & = \lim_{x\to 0}\frac{2\sen x \cos x/(1+\sen^2 x)}{\sen x}\\ & = \lim_{x\to 0}\frac{2 \cos x}{1+\sen^2 x} = 2\end{align*}
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(Exercício 4.61 de [2]) Determine os limites:
- $\lim_{x\to+\infty}\frac{2^x}{x^2}$,
- $\lim_{x\to-\infty}\frac{2^x}{x^2}$.
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(Exercício 4.63 de [2]) Calcule os limites
- $\lim_{x\to 0^+}\left( \sen x\right)^{\sen x}$,
- $\lim_{x\to +\infty} \left(\log x\right)^{\frac{1}{x}}$.
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(Exercício 4.66 de [2]) Calcule os limites
- $\lim_{x\to +\infty} x\sen\frac{1}{x}$,
- $\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\left( \tg x\right)^{\tg 2x}$.
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(Exercício 4.78 de [2]) Calcule o seguinte limite de sucessão:
\[\lim_{n\to +\infty, n\in\mathbb{N}} \left( \frac{1}{n}\right)^{\sen\frac{1}{n}}.\]Sugestão
Determine primeiro $\lim_{x\to 0} x^{\sen x}$.
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Considere as funções definidas pelas seguintes fórmulas: $e^{2x}$, $\log (1+x)$, $\cos(\pi x)$.
- Para cada uma das funções referidas, determine a fórmula de MacLaurin e a fórmula de Taylor relativa ao ponto $1$, ambas de ordem $2$ e com resto de Lagrange.
- Para as fórmulas de MacLaurin, determine estimativas para o erro cometido no intervalo $]0,1[$ ao aproximar a função pelo polinómio.
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Determine $e^{0,1}$ com erro inferior a $10^{-4}$, sem usar a calculadora.
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(Exercício 4.83 de [2]) Prove, usando a fórmula de MacLaurin com resto de Lagrange, que se tem
\[\left|e^{-x} -\left(1-x+\frac{x^2}{2}\right)\right|\leq \frac{1}{6}, \qquad\text{para } x\in[0,1].\] -
Sejam $f$ uma função $3$ vezes diferenciável e $g$ definida por $g(x)=f(e^x)$. Sabendo que o polinómio de Taylor de ordem $2$ de $f$ relativo ao ponto $1$ é $3-x+2(x-1)^2$, determine o polinómio de MacLaurin de ordem $2$ de $g$.
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(Exercício 4.83 de [2]) Prove, recorrendo à fórmula de MacLaurin, que se $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ verifica a condição \[ f^{(n)}(x)=0, \quad\text{para qualquer }\: x\in\mathbb{R},\] então $f$ é um polinómio em $x$ de grau menor do que $n$.
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Seja $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ uma função três vezes diferenciável. Use a fórmula de Taylor para mostrar que, para qualquer $a\in\mathbb{R}$, se tem
\[f^{\prime\prime}(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-2f(a) +f(a-h)}{h^2}.\]Solução
Começamos por notar que, como diferenciabilidade implica continuidade, a função é de classe $C^2(\mathbb{R})$.
Seja $a\in\mathbb{R}$ e $g(x)=f(a+x)-2f(a) +f(a-x)$. Então $g$ é de classe $C^2(\mathbb{R})$ e \begin{align*} g'(x) & = f'(a+x)-f'(a-x) \\ g''(x) & = f''(a+x)+f''(a-x) \end{align*} pelo que, usando a fórmula de MacLaurin de primeira ordem com resto de Lagrange, obtemos que para cada $h\in\mathbb{R}$ existe $\theta\in{]0,1[}$ tal que \[g(h)=g(0)+g'(0)h+ \frac{1}{2}g''(\theta h)h^2 = \frac{1}{2}(f''(a+\theta h)+f''(a-\theta h))h^2. \]
Mas, adicionando e subtraindo $ f''(a)$ ao último membro da expressão anterior, obtemos que \[g(h) = f''(a) h^2 + \frac{1}{2}(f''(a+\theta h)-f''(a)+f''(a-\theta h)-f''(a))h^2.\]
Dividindo ambos os membros por $h^2$ e passando ao limite quando $h\to 0$ obtém-se que \[\lim_{h\to 0}\frac{g(h)}{h^2}= f''(a).\]
Note que $f\in C^2(\mathbb{R})$ garante que, quando $h\to 0$ temos $f''(a+\theta h)-f''(a)\to 0$ e $f''(a-\theta h)-f''(a)\to 0$.
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(Exercício 4.90 de [2]) Seja $f$ uma função de classe $C^2(\mathbb{R})$ e considere a função $g$ definida por $g(x)=x f(x)$ para todo o $x\in\mathbb{R}$. Se $g^{\prime\prime}$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e $g^{\prime\prime}(0)=0$, prove que $f(0)$ é mínimo absoluto de $f$.
Sugestão
Escreva a fórmula de MacLaurin de primeira ordem de $g$ e use-a para determinar o sinal de $f(x)-f(0)$.
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Determine os extremos da função $f(x)=\arctg(x^2)$, classificando-os, e determine os seus pontos de inflexão. Esboce o gráfico da função.
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(Exercício 4.109 de [2]) Faça um estudo tão completo quanto possível da função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)= x^4e^{-x}$ tendo em conta monotonia, extremos, pontos de inflexão, contradomínio. Esboce o gráfico da função.
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(Exercício 4.126 de [2]) Esboce o gráfico da função $f(x)= \frac{\sen x}{1-\sen x}$ em $[0,2\pi]$.
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(Exercício 4.129 de [2]) Faça o estudo da função $f(x)=\arctg\left(\frac{x}{x-1}\right)$ tendo em conta monotonia, extremos, pontos de inflexão, contradomínio. Esboce o gráfico da função.
Bibliografia
Última edição desta versão: João Palhoto Matos, 03/01/2021 21:13:45.