Exercícios

Sucessões

(Inclui exercício II.1 de [1]) Indique quais são majoradas, minoradas, limitadas, crescentes e decrescentes de entre as sucessões definidas do modo seguinte:
1. $u_n=\frac{1}{\sqrt{n}+1}$.
2. $u_n=\frac{n+(-1)^n}{n}$.
3. $u_n=(-1)^n n^2$.
4. $u_n=n^{(-1)^n}$.
5. $u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^n}$.
  Sugestão
  
  Veja o exercício I.6.b.
6. $u_1=-1$, $u_{n+1}=-2u_n$.
7. $u_1=0$, $u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{3}$.
  Sugestão
  
  Tente usar indução para provar os seus palpites.
  
  Solução
  
  De $u_1=0$ e $u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{3}$ deduz-se facilmente, usando indução, que $u_n\geq 0$ para todo o $n$. Também usando indução, consegue mostrar-se que $u_n\leq 1$ para todo o $n$. Verificamos esta última afirmação com mais algum detalhe. Temos $u_1=0\leq 1$. E, usando como hipótese de indução ser $u_n\leq 1$ para um certo $n$, obtemos $u_{n+1}= \frac{2u_n+1}{3}\leq \frac{2\cdot 1+1}{3}=1$.
  
  Assim concluímos que $(u_n)$ é uma sucessão limitada.
  
  Quanto a decidir se $(u_n)$ é crescente ou decrescente notamos que $u_{n+2}-u_{n+1}=\frac{2u_{n+1}+1}{3}-\frac{2u_n+1}{3}=\frac{2}{3}(u_{n+1}-u_n)$ o que, conjuntamente com $u_2-u_1=1\gt 0$, torna possível provar por indução que $u_{n+1}-u_n\gt 0$ para todo o $n$.
  
  Assim $(u_n)$ é estritamente crescente.
8. $u_1=0$, $u_2=1$, $u_{n+2}=\frac{u_n+u_{n+1}}{2}$.
  Sugestão
  
  Tente usar indução para provar os seus palpites.
  
  Solução
  
  Provamos por indução que
  
  Para $n\in\mathbb{N}_1$ temos $u_1,u_2,\dots, u_n, u_{n+1}\in [0,1]$.
  
  Com efeito para $n=1$ temos $u_1=0\in [0,1]$ e $u_2=1\in [0,1]$.
  
  Se para um certo $n$ tivermos $u_1,u_2,\dots, u_n, u_{n+1}\in [0,1]$ então também $u_{n+2}=\frac{u_n+u_{n+1}}{2}\in [0,1]$.
  
  Portanto $(u_n)$ é uma solução limitada.
  
  Quanto ao estudo do crescimento da sucessão notamos que a fórmula de recorrência definindo a sucessão permite estabelecer \[u_{n+2}-u_{n+1}=\frac{1}{2}( u_n-u_{n+1}).\] Isto permite mostrar por indução que o sinal de $ u_n-u_{n+1}$ alterna entre valores positivos e negativos e portanto a sucessão não é monótona (e, adicionalmente, que não existe uma ordem a partir da qual a sucessão seja monótona).

Baseando-se directamente na definição de limite mostre que:
1. $\frac{1}{\sqrt{n+1}}\to 0$.
2. $\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\to 1$.
  Solução
  
  $\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\to 1$ equivale a afirmar que \[\forall_{\epsilon\gt 0}\exists_{p\in\mathbb{N}} \forall_{n\gt p, n\in\mathbb{N}} \qquad\left|\frac{n^{2}}{n^{2}+1}-1\right|\lt \epsilon\] que imediatamente podemos simplificar para \[\forall_{\epsilon\gt 0}\exists_{p\in\mathbb{N}} \forall_{n\gt p, n\in\mathbb{N}} \qquad\frac{1}{n^{2}+1}\lt \epsilon\] Para tentar perceber como determinar $p$ em função de $\epsilon$ vamos resolver a inequação $\frac{1}{n^{2}+1}\lt \epsilon$ para $n$ em função de $\epsilon$. Com efeito, como $\epsilon\gt 0$, a desigualdade é quivalente a \[\frac{1}{\epsilon}-1\lt n^2.\] Se $\frac{1}{\epsilon}-1\lt 0$ a desigualdade é verificada para qualquer $n\in\mathbb{N}$. Portanto, nesse caso, podemos escolher $p=0$. Caso contrário $\frac{1}{\epsilon}-1\geq 0$ e a desigualdade é equivalente a $n\gt \sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1}$. Portanto, se neste caso escolhermos $p$ como um inteiro maior que $\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1}$, garantimos de facto que, para $n\gt p$, $\frac{1}{n^{2}+1}\lt \epsilon$. Assim, para todos os valores de $\epsilon\gt 0$ estabelecemos como determinar um tal $p\in\mathbb{N}$, concluindo a justificação do limite.
3. A sucessão de termo geral $u_{n}=n^{2}$ é divergente.
(Exercício II.2 de [1]) A mesma questão que a anterior para:
1. $\frac{2n-1}{n+1}\to 2$.
2. $\frac{\sqrt{n^2-1}}{n}\to 1$.
Calcule o limite (em $\mathbb{R}$), ou justifique a sua não existência, para cada uma das sucessões de termo geral
1. $\frac{(2n+1)^{3}+n}{n^{3}+1}$,
2. $\frac{(2n+1)^{3}+n^{2}}{(n+1)^{2}(n+2)}$,
3. $\frac{(n+1)^2+2n^4}{(n+1)^4+2n^2}$,
4. $\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n-1}}$,
5. $\frac{1}{n}\left( 2+\frac{1}{n}\right)$,
6. $\frac{1}{n}\left( 2n+\sqrt{n}\right)$,
7. $\frac{(-1)^n}{n!}$,
8. $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt[4]{4n^2+1}}$,
9. $\frac{\sqrt[3]{n}+1}{\sqrt[3]{n+1}}$,
10. $\frac{n+1}{n!}$,
11. $\frac{1+(-1)^n}{\sqrt{n}}$,
12. $\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}$,
13. $\frac{\sqrt[n]{1000}+1000}{n}$,
14. $\frac{n^n}{n^n+1}$,
15. $\frac{\sqrt[n]{3}}{\sqrt[3]{n}}$,
16. $\frac{4^n}{1+4^{n^2}}$,
17. $\frac{(a^{n})^{2}}{a^{n^{2}}}$, com $a>1$.
(Exercício 1.36 de [2]) Indique, justificando abreviadamente a resposta, o conjunto dos valores reais de $a$ para os quais a sucessão de termo geral $x_n=\frac{a^n}{2^{1+2n}}$ é
1. convergente;
2. divergente, mas limitada.
Dê exemplos de sucessões tais que:
1. $(u_n)$ tem todos os termos em $]-\infty,1[$ e é crescente.
2. $(u_n)$ não é monótona e é convergente.
3. $(u_n)$ é divergente e $(|u_n|)$ é convergente.
4. $(u_n)$ é limitada e divergente.
5. $(u_n)$ tem todos os termos em $\left\{\frac{1}{n}:\;n\in\mathbb{N}\right\}$ e é divergente.
6. $(u_n)$ tem todos os termos em $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ e converge para um elemento de $\mathbb{Q}$.
Sejam $A$, $B$ e $C$ os subconjuntos de $\mathbb{R}$ considerados no Ex. 1.19:
\begin{gather*} \begin{aligned}A &=\{x\in\mathbb{R}:\,x^{2}+2|x|>3\}\\ & ={]-\infty,-1[}\cup{]1,+\infty[},\end{aligned}\\ B=\left]0,\sqrt{2}\right[,\\ C=\left\{\sqrt{2}-\frac{1}{n}:\, n\in\mathbb{N}_{1}\right\}. \end{gather*}
Dê um exemplo ou justifique a não existência de:
1. uma sucessão de termos em $A$ monótona e divergente;
2. uma sucessão de termos no conjunto $B$ crescente e divergente;
3. uma sucessão de termos no conjunto $B$ com limite em $\mathbb{R}\setminus B$;
4. uma sucessão de termos no conjunto $\mathbb{R}\setminus B$ com limite em $B$;
  Solução
  
  Seja $x_n\to x^\ast\in {]0,\sqrt{2}[}$. Da definição de limite segue, com $\epsilon$ igual ao mínimo das distâncias de $x^\ast$ a $0$ e a $\sqrt{2}$ (isto é, $\epsilon=\min(x^\ast, \sqrt{2}-x^\ast)$), que todos os termos da solução estão em $V_\epsilon(x^\ast)$ a partir de certa ordem. Mas tal é incompatível com estarem no complementar de $B$.
  
  Sugestão
  
  Mais geralmente prove que, se o limite de uma sucessão está num intervalo aberto, os termos da sucessão estão nesse intervalo aberto a partir de certa ordem.
5. uma sucessão de termos no conjunto $A\setminus B$ com limite em $A\cap B$;
6. uma sucessão de termo geral $u_{n}$ no conjunto $C$ tal que $\lim u_{n}\lt \sqrt{2}$.
Considere as sucessões definidas da seguinte forma, com $a,r\in \mathbb{R}$:
\begin{gather*} \begin{cases} u_1 =a, \\ u_{n+1} =r + u_{n}, \end{cases} \\ \begin{cases} v_1 =a, \\ v_{n+1} =rv_{n}. \end{cases} \end{gather*}
Comentário

A sucessão $(u_n)$ é uma progressão aritmética de primeiro termo $a$ e razão $r$ e a sucessão $(v_n)$ é uma progressão geométrica de primeiro termo $a$ e razão $r$.
1. Mostre por indução matemática que $u_n= a + (n-1)r$ e $v_n=ar^{n-1}$, $n\in\mathbb{N}_1$.
2. Dê exemplos de valores de $r$ e de $a$ tais que (i) $(u_n)$ seja monótona crescente; (ii) $(u_n)$ seja monótona decrescente; (iii) $(v_n)$ seja monótona crescente; (iv) $(v_n)$ não seja monótona.
3. Mostre que $(u_n)$ não é limitada, para quaisquer $a\in\mathbb{R}$, $r\neq 0$. Para que valores de $r$ e $a$ será $(v_n)$ limitada? E convergente?
(Teste de 12-11-2005) Considere a sucessão real $(u_n)$ dada por:
\[ \begin{cases} u_1 =1, \\ u_{n+1} =1+\frac{u_{n}}{2}. \end{cases} \]
1. Mostre usando indução que $u_n\leq 2$ para qualquer $n\in\mathbb{N}_1$.
2. Mostre que $(u_n)$ é uma sucessão crescente.
3. Mostre que $(u_n)$ é convergente e indique $\lim u_n$.
Considere a sucessão $(b_n)$ definida por \[\begin{cases}b_1=1, &\\ b_{n+1}=1 +\dfrac{b_n}{3} \; \cos(1/n), & \text{se $n\geq 1$.}\end{cases} \]
1. Use indução finita para mostrar que os termos da sucessão verificam $b_n\in [1,3/2[$, para todo o $n\in \mathbb{N}_1$.
  Solução
  
  Notamos que $0\lt 1/n\leq 1 \lt \pi/2$ pelo que $\cos(1/n)\in {]0,1[}$.
  
  Para $n=1$ temos $b_1=1\in[1,3/2[$.
  
  Suponhamos que para um certo $n\in\mathbb{N}$ temos $b_n\in [1,3/2[$.
  
  Então \[b_{n+1} = 1 +\frac{b_n}{3} \; \cos(1/n) \gt 1\] em que usámos $\cos(1/n)\gt 0$.
  
  Por outro lado também \[b_{n+1} = 1 +\frac{b_n}{3} \; \cos(1/n)\lt 1 + \frac{3}{2\cdot 3}\cdot 1 = 1 + \frac{1}{2}= \frac{3}{2}\] em que usámos $\cos(1/n)\lt 1$.
  
  As propriedades verificadas completam a prova por indução de que $b_n\in [1,3/2[$ para todo o $n\in\mathbb{N}$.
2. Use indução finita para mostrar que a sucessão $(b_n)$ é monótona crescente.
  Solução
  
  Provar por indução finita que $(b_n)$ é crescente corresponde a mostrar que para todo o $n\in\mathbb{N}$ temos $b_{n+1}\geq b_n$.
  
  De facto esta última afirmação verifica-se para $n=1$ pois $b_2=1+\frac{b_1}{3}\cos(1)=1+\frac{\cos(1)}{3}\gt 1 = b_1$.
  
  Suponhamos agora que para um certo $n\in\mathbb{N}$ temos $b_{n+1}\geq b_n$. Vamos mostrar que então também $b_{n+2}\geq b_{n+1}$.
  
  De facto então \[b_{n+2}=1+\frac{b_{n+1}}{3}\cos(1/(n+1))\gt 1 + \frac{b_n}{3}\cos(1/n)=b_{n+1}\] em que também usámos o facto de $\cos(1/{n+1})\gt \cos(1/n)$.
  
  As propriedades verificadas completam a prova por indução de que $b_{n+1}\geq b_n$ para todo o $n\in\mathbb{N}$.
3. Justifique que $(b_n)$ é convergente e calcule o seu limite.
  Solução
  
  Das alíneas anteriores sabemos que a sucessão $(b_n)$ é monótona e limitada, logo convergente.
  
  Seja $b=\lim b_n$. Então $b=\lim b_{n+1}= 1 + \frac{b}{3} \lim \cos(1/n)= 1 + \frac{b}{3}$. Portanto $b$ satisfaz a equação $b=1+\frac{b}{3}$ que tem a solução única $b=3/2$. Portanto a sucessão $(b_n)$ converge com limite $3/2$.
Considere a sucessão real $(u_n)$ dada por:
\[ \begin{cases} u_1 =\frac{3}{2}, \\ u_{n+1} =\frac{u_{n}^2+2}{3}. \end{cases} \]
1. Mostre usando indução que $1\lt u_n\lt 2$ para qualquer $n\in\mathbb{N}_1$.
2. Mostre que $(u_n)$ é uma sucessão decrescente.
3. Mostre que $(u_n)$ é convergente e indique $\lim u_n$.
Seja $u_{1}\gt 1$ e $u_{n+1}=2-\frac{1}{u_{n}}$ para $n\in\mathbb{N}_{1}$. Mostre que $u_{n}$ é convergente.

Sugestão

Comece por provar por indução matemática que $1\lt u_{n}\lt 2$, para todo o inteiro $n\geq 2$.

Calcule $\lim u_{n}$.

Solução

$u_2=2-\frac{1}{u_{1}}\lt 2$ pois $u_1\gt 1\gt 0$. $u_2=2-\frac{1}{u_{1}}\gt 1$ pois $u_1\gt 1$ implica $\frac{1}{u_1}\lt 1$.

Se um dado $u_n\in {]1,2[}$ então $\frac{1}{u_n}\in {\left]\frac{1}{2},1\right[}$ pelo que $u_{n+1}=2-\frac{1}{u_{n}} \in {\left]2-1,2-\frac{1}{2}\right[}= {\left]1,\frac{3}{2}\right[}\subset {]1,2[}$.

As duas observações anteriores permitem justificar por indução que $1\lt u_{n}\lt 2$ para todo o $n\geq 2$.

Estudamos agora a monotonia da sucessão $(u_n)$. Usando a fórmula de recorrência obtemos \[u_{n+2}-u_{n+1}=\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}}= \frac{u_{n+1}-u_n}{u_n u_{n+1}}.\] Juntamente com $u_2-u_1=2-\frac{1}{u_1}-u_1=\frac{2u_1-1-u_1^2}{u_1}=-\frac{(u_1-1)^2}{u_1}\lt 0$, pois $u_1\gt 1$, podemos provar por indução que $(u_n)$ é estritamente decrescente.

Como $(u_n)$ é monótona e limitada obtemos que é convergente. Seja $u=\lim u_n$. Tomando limites de ambos os lados da fórmula de recorrência obtém-se $u=2-\frac{1}{u}\Leftrightarrow \frac{u^2-2u+1}{u}=0$ que tem como única solução $u=1$. Portanto $u_n\to 1$.
(Exercício II.1g) de [1]) Seja $(u_n)$ a sucessão definida por recorrência por $u_1=1$, $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.
1. Prove por indução que $1\leq u_n\lt 2$, para todo o $n\in\mathbb{N}_1$.
2. Prove por indução que $(u_n)$ é crescente.
  Sugestão
  
  Alternativamente, verifique que $u_{n+1}-u_n=\frac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+\sqrt{2+u_n}}$.
3. Justifique que $(u_n)$ é convergente.
4. Aplicando limites a ambos os membros da expressão de recorrência, determine o limite de $(u_n)$.
(Exercício 1.45 de [2]) Justifique que, se as condições $u_n\gt 0$ e $\frac{u_{n+1}}{u_n}\lt 1$ são verificadas qualquer que seja $n\in\mathbb{N}$, então $(u_n)$ é convergente.
(Exercício 1.47 de [2]) Sendo $x_n$ o termo geral de uma sucessão monótona, $y_n$ o termo geral de uma sucessão limitada e supondo verificada a condição \[\forall_{n\in\mathbb{N}}\quad |x_n-y_n|\lt \frac{1}{n},\] prove que $x_n$ é limitada e que as duas sucessões são convergentes para o mesmo limite.
(Exercício 1.34 de [2]) Das sucessões de termos gerais \[u_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n},\quad v_n=\frac{n^{n+1}}{n^n+1},\quad w_n=u_nv_n\] indique, justificando abreviadamente as respostas, quais as que são limitadas e as que são convergentes.
(Exercício 1.40 de [2]) Estude quanto à convergência as sucessões de termos gerais: \[u_n=\cos(n!\pi),\quad v_n=\frac{n\cos(n\pi)}{2n+1},\quad w_n=\frac{1+a^n}{1+a^{2n}}\quad(a\in\mathbb{R}).\]
Calcule o limite (em $\mathbb{R}$) ou justifique a sua não existência para cada uma das sucessões de termo geral
1. $\frac{1}{(-1)^{n}n^{2}+2}$,
2. $(1+(-1)^{n})\left(1+\frac{1}{n}\right)$,
3. $\frac{n(1+(-1)^{n})}{2}$,
4. $\frac{2n^2+(-1)^n}{n^2-1}$,
5. $\frac{n+\cos n}{2n-1}$,
6. $\left( -1-\frac{1}{n}\right)^n$.
Mostre que se $(u_n)$ é uma sucessão convergente tal que $u_{2n}\in {]0,1[}$ e $u_{2n+1}\in \mathbb{R}\setminus {]0,1[}$ então $\lim u_n\in \{0,1\}$.
Considere a sucessão real $(u_n)$ definida por recorrência por:
\[ \begin{cases} u_1 =a, & \\ u_{n+1} =(-1)^n u_n+\frac{u_{n}}{n+1}, & \end{cases} \]
com $a\in \mathbb{R}$. Mostre que se $(u_n)$ é convergente então $\lim u_n=0$.
(Teste 12/11/05) Considere os seguintes subconjuntos de $\mathbb{R}$:
\begin{gather*} A =\{x\in \mathbb{R}:\;|2x+1|\lt |x|\},\\ B=\left\{ \frac{(-1)^n}{n}\;:\;n\in\mathbb{N}_1\right\} , \\ C={[-1,+\infty[}. \end{gather*}
1. Mostre que $A={\left] -1,-\frac{1}{3}\right[}$.
2. Indique (caso existam em $\mathbb{R}$), $\inf C$, $\min(C\setminus A)$, $\sup(A\setminus \mathbb{Q})$, $\max(A \cup B)$, $\inf B$, $\max(B \setminus \mathbb{Q})$.
3. Diga, justificando, se cada uma das proposições seguintes é verdadeira ou falsa:
  1. Toda a sucessão decrescente de termos em $A$ é convergente.
  2. Toda a sucessão decrescente de termos em $A$ é convergente para um elemento de $A$.
  3. Toda a sucessão estritamente crescente em $C$ é divergente.
  4. O conjunto dos sublimites de qualquer sucessão de termos em $B$ é não-vazio.
  5. O conjunto dos sublimites de qualquer sucessão de termos em $B$ está contido em $\{-1, 0\}$.
(Exame de 1/3/2001) Considere os conjuntos definidos por
\begin{gather*} A=\left\{ x\in \mathbb{R}: \frac{x^2+1}{x-2}\geq x\right\}, \\ B=\left\{ x\in \mathbb{R}: \log(2x^2+x)\geq 0\right\}. \end{gather*}
1. Identifique o conjunto $A$, e mostre que $B={]-\infty,-1]}\cup \left[\frac{1}{2},+\infty\right[$.
2. Determine, se existirem em $\mathbb{R}$: $\min A$, $\sup B\cap \mathbb{Q}$, $\inf A\cap B$, $\sup B\cap \mathbb{R}^{-}\setminus \mathbb{Q}$, $\max A\cap \mathbb{Q}^{-}$.
3. Mostre que, se $(x_{n})$ é uma sucessão crescente em $A\cap B\cap\mathbb{R}^{-},$ então $(x_{n})$ é convergente.
4. Mostre que, se $(x_{n})$ é uma sucessão em $B\cap \mathbb{R}^{+},$ então a sucessão $(y_{n})$ dada por $y_{n}=(-1)^{n}x_{n}$ é divergente.
5. Dê um exemplo de uma sucessão $(x_{n})$ de irracionais em $A$ que convirja para um elemento do complementar de $A$.
(Exame 19/1/2000) Sejam $A=\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$, $B=\left\{ -\frac{1}{n},n\in\mathbb{N}_{1}\right\}$.

Diga, justificando, quais das seguintes proposições são verdadeiras. Para as que forem falsas forneça um contra-exemplo:
1. Toda a sucessão de termos em $A$ que seja limitada é convergente.
2. Qualquer sucessão monótona de termos em $A\cap V_{1/2}(0)$ tem limite real.
3. Qualquer sucessão de termos em $A\cup B$ que seja estritamente decrescente tem limite em $\mathbb{R}^+_{0}$.
4. O conjunto dos termos de uma sucessão em $B$ decrescente é necessariamente finito.
(Exame de 30/11/2002) Considere os seguintes subconjuntos de $\mathbb{R}$ (ver Ex. 1.21):
\begin{gather*} A=\left\{x:|x^2-2|\leq 2x+1\right\}=\left[-1+\sqrt{2},\,3\right], \\ C=\left\{\frac{1}{k^2}:k\in\mathbb{N}_1\right\}. \end{gather*}
Indique, justificando, se cada uma das proposições seguintes é verdadeira ou falsa:
1. Toda a sucessão monótona de termos em $A$ é convergente.
2. Existem sucessões $(a_n)$ de termos em $\mathbb{R}\setminus A$ convergentes e tais que $a_{n+1}a_n\lt 0$, para qualquer $n\in\mathbb{N}$.
3. Seja $(a_n)$ uma sucessão de termos em $C$. Então qualquer subsucessão de $(a_n)$ é convergente.
Prove, recorrendo à definição de limite em $\overline{\mathbb{R}}$, que:
1. $1-\sqrt{n}\to -\infty$.
2. $\frac{n^{2}+1}{n}\to +\infty$.
Determine, se existirem, os limites em $\overline{\mathbb{R}}$ das sucessões que têm por termo de ordem $n$:
1. $\frac{n^{n}}{1000^{n}}$,
2. $\frac{(2n)!}{n!}$,
3. $n^{n+1}-n^n$,
4. $ 3^n - (2n)!$,
5. $(n! - n^{1000})^n$,
6. $\sqrt[n]{\frac{n+2}{n+1}}$,
7. $\frac{n^{1000}}{1,0001^{n}}$,
8. $\sqrt[n]{\frac{n}{n^{2}+1}}$,
9. $\sqrt[n]{3^n+2}$,
10. $\sqrt[n]{n!}$,
11. $\left(2-\frac{1}{n}\right)^{n}$,
12. $\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)^{2^{n}}$,
13. $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}$.
(Exercício II.5 de [1]) Determine, se existirem, os limites em $\overline{\mathbb{R}}$ das sucessões que têm por termo de ordem $n$:
1. $\frac{2n+3}{3n-1}$,
2. $\frac{n^2-1}{n^4+3}$,
3. $\frac{2^n+1}{2^{n+1}-1}$,
4. $\frac{n^3+1}{n^2+2n-1}$,
5. $\frac{(-1)^nn^3+1}{n^2+2}$,
6. $\frac{n^p}{n!}$ ($p\in\mathbb{N}_1$),
7. $\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}$,
8. $\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n^3}$,
9. $\frac{3^n}{n^2}$,
10. $\sqrt[n]{\frac{n^2+n-1}{n+3}}$,
11. $\sqrt[n]{2^n+1}$,
12. $\sqrt[n]{(n+1)!-n!}$,
13. $\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^3}$,
  Solução
  
  \[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^3}=\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]^n.\] A sucessão $\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)$ é uma subsucessão de $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)$ que tem limite $e$ e portanto tende também para $e$. Se isso acontece existe uma ordem a partir da qual $\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\gt 2$ (de facto tal acontece para todo o $n$). Então a partir de uma certa ordem o termo de ordem $n$ da sucessão é minorado por $2^n$. Como $2^n\to +\infty$ concluímos que o limite também é $+\infty$.
14. $\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{n!}$,
  Solução
  
  Trata-se de uma subsucessão de $\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\right)$. Como esta última tem limite $1/e$ concluímos que $\lim \left(1-\frac{1}{n!}\right)^{n!}=\frac{1}{e}$.
15. $\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^2}$.
  Solução
  
  \[\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^2}=\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^3}}\] Seja $a_n=\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^3}$. Então $\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{e}{e}=1$ pelo que também $\lim\sqrt[n]{a_n}=1$.
Decida sobre a existência dos seguintes limites em $\mathbb{R}$ e $\overline{\mathbb{R}}$, calculando os seus valores nos casos de existência:
1. $\lim \frac{n!}{n^{1000}}$,
2. $\lim \frac{(2n)!+2}{(3n)!+3}$,
3. $\lim \frac{(2n)!}{(2n)^n}$,
4. $\lim \frac{(n!)^2}{(2n)!+2}$,
5. $\lim \frac{2^n n!}{n^n}$,
  Solução
  
  Seja $a_n=\frac{2^n n!}{n^n}$. Então $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim \frac{2(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}=2\lim \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{2}{e}\lt 1$. Então, e a partir de certa ordem, a sucessão $a_n$ é estritamente decrescente. Dado que se trata de uma sucessão minorada, é convergente. Se $\lim a_n\neq0$, $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=1$, o que contraria o cálculo anterior; portanto $\lim a_n=0$.
6. $\lim \frac{3^n n!}{n^n}$,
  Solução
  
  Similar ao anterior mas obtendo-se que o limite é $+\infty$.
7. $\lim n^{\frac{1}{n}}$,
8. $\lim \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$,
9. $\lim \left(\frac{1}{n}\right)^{n}$,
10. $\lim \left(2-\frac{1}{n}\right)^n$,
11. $\lim \left( \frac{n-1}{2n^2+1}\right)^\frac{2}{n}$,
12. $\lim \frac{2^{(n^2)}}{15^n}$.
1. Mostre que:
  1. se $u_n\to +\infty$ em $\overline{\mathbb{R}}$ então $\frac{1}{u_n}\to 0$;
  2. se $u_n> 0$ e $u_n\to 0$ então $\frac{1}{u_n}\to +\infty$ em $\overline{\mathbb{R}}$.
2. Será verdade que $u_n\to 0 \Rightarrow \left( \frac{1}{u_n}\to +\infty \vee \frac{1}{u_n}\to -\infty\right) $?
Determine quais são as sucessões do exercício 1 que possuem limite em $\overline{\mathbb{R}}$ e qual o seu valor.
Solução
1. $\frac{1}{\sqrt{n}+1}\to 0$.
2. $\frac{n+(-1)^n}{n}\to 1$.
3. $\left((-1)^n n^2\right)$ não é convergente em $\overline{\mathbb{R}}$. No entanto podemos dizer que $(-1)^n n^2\to \infty$.
4. $\left(n^{(-1)^n}\right)$ não é covergente em $\overline{\mathbb{R}}$.
5. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^n}\to 2$.
6. A sucessão $(u_n)$ definida por $u_1=-1$, $u_{n+1}=-2u_n$ não é convergente em $\overline{\mathbb{R}}$. No entanto podemos dizer que $u_n\to \infty$.
7. A sucessão $(u_n)$ definida por $u_1=0$, $u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{3}$ é limitada e crescente (ver solução do exercício 1). Portanto é convergente. Tomando limites na fórmula de recorrência obtemos $\lim u_n= \frac{2\lim u_n+1}{3}$ donde $\lim u_n=1$.
8. Veja a sugestão a seguir.
Sugestão
1. Para lidar com a sucessão $(u_n)$ definida por $u_1=0$, $u_2=1$, $u_{n+2}=\frac{u_n+u_{n+1}}{2}$ comece por usar a igualdade $u_{n+2}-u_{n+1}=\frac{1}{2}( u_n-u_{n+1})$ estabelecida na solução do exercício 1 para mostrar que \begin{align*}u_{n+2} & = u_{n+2} -u_{n+1} + u_{n+1} - u_n + u_n - \dots + u_2 - u_1 \\ & = \left(\left(-\frac{1}{2}\right)^n + \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} + \dots + 1\right)(u_2 - u_1).\end{align*}
Mostre que uma sucessão limitada com um único sublimite é convergente para esse sublimite.
Considere a sucessão $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ definida por:\[\begin{cases}a_0=1, \\ a_{n}=1+\frac{2-a_{n-1}}{n}, \text{se $n\geq 1$.}\end{cases}\]
1. Mostre que $1\leq a_n\leq 2$ para todo o $n\in\mathbb{N}$.
2. Determine todos os sublimites de $(a_n)$.
3. Justifique que $(a_n)$ é convergente e indique o seu limite.
Considere a sucessão $(b_n)$ definida por \[ \begin{cases} b_1=\sqrt{3}, &\\ b_{n+1}=b_n \arctg b_n, & \text{se $n\geq 1$.}\\ \end{cases} \]
1. Use indução finita para mostrar que os termos da sucessão verificam $b_n\geq \sqrt{3}$, para todo o $n\in \mathbb{N}_1$.
  Solução
  
  Para $n=1$ temos de facto $b_1=\sqrt{3}$. Supondo que para um certo $n\in\mathbb{N}_1$ temos $b_n\geq \sqrt{3}$ também temos $b_{n+1}=b_n \arctg b_n \geq \sqrt{3}\arctg b_n \geq \sqrt{3}\arctg (\sqrt{3}) \geq \sqrt{3}\frac{\pi}{3}\geq \sqrt{3}$ em que, além da hipótese de indução, usámos o facto de $\arctg$ ser uma função crescente e positiva quando o seu argumento é positivo. Podemos assim concluir por indução que $b_n\geq \sqrt{3}$, para todo o $n\in \mathbb{N}_1$.
2. Mostre que, para todo o $n\in\mathbb{N}_1$, \[b_{n+1}\geq \frac{\pi}{3} b_n.\]
  Solução
  
  Tal decorre da conclusão da alínea anterior e das propriedades do $\arctg$ via $b_{n+1}=b_n \arctg b_n \geq b_n \arctg\sqrt{3}= b_n \frac{\pi}{3}$.
3. Justifique que $b_n\to+\infty$.
  Sugestão
  
  Note que $\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$.
  
  Solução
  
  Da conclusão da alínea anterior $(b_n)$ é uma sucessão estritamente crescente pois $\frac{\pi}{3}\gt 1$. Sendo assim ou tem limite $+\infty$ ou converge para um número $L\gt \sqrt{3}$. Neste último caso, passando ao limite de ambos os membros na fórmula de recorrência, obteríamos $L=L\arctg L$, uma igualdade que só tem por soluções $L=0$ ou $L$ tal que $\arctg L = 1$. Como $L\gt \sqrt{3}$ nenhuma destas possibilidades pode ocorrer e portanto $b_n\to+\infty$.
  
  Alternativamente podemos usar a desigualdade da alínea anterior para minorar a sucessão por uma prograssão geométrica de razão maior que $1$ que tende para infinito. Isto corresponde a $b_{n+1}\geq b_n \frac{\pi}{3} \geq b_{n-1} \left(\frac{\pi}{3}\right)^2 \geq \dots \geq b_1 \left(\frac{\pi}{3}\right)^n = \sqrt{3} \left(\frac{\pi}{3}\right)^n \to +\infty$ e portanto $b_n\to+\infty$.
Mostre que se uma sucessão $(u_n)$ é tal que existem em $\overline{\mathbb R}$ os sublimites correspondentes às subsucessões $(u_{2n})$ e $(u_{2n+1})$ e são iguais então a sucessão converge em $\overline{\mathbb R}$ para o mesmo valor.
Solução

Suponhamos que o valor dos limites das subsucessões é $a\in\overline{\mathbb R}$.

Seja $\epsilon\gt 0$.

Convencionamos, além do significado habitual de $V_\epsilon(a)$ com $a\in\mathbb R$, que $V_\epsilon(+\infty)={\left]\frac{1}{\epsilon},+\infty\right[}$ e $V_\epsilon(-\infty)={\left]-\infty,-\frac{1}{\epsilon}\right[}$.

Da definição de limite sabemos que existe $p_1\in \mathbb N$ tal que para $n\gt p_1$ temos $u_{2n}\in V_\epsilon(a)$ e existe $p_2\in \mathbb N$ tal que para $n\gt p_2$ temos $u_{2n+1}\in V_\epsilon(a)$. Mas então, para $n\gt 2\max(p_1,p_2)+1$ temos $u_n\in V_\epsilon(a)$. Mas isto quer dizer que $u_n\to a$.

Bibliografia

J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa.
Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico. Exercícios de Análise Matemática I/II, 2ª edição, 2005. IST Press, Lisboa.

Última edição desta versão: João Palhoto Matos, 06/10/2021 10:43:33.