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Cálculo Diferencial e Integral I

Uma questão sobre uma sucessão

Recebi uma questão por email sobre uma convergência de uma sucessão:

Venho por este meio solicitar ajuda para a resolução do seguinte exercicio no dominio da indução estudada em cálculo 1, já resolvi exercícios semelhantes nas aulas práticas mas este não estou a conseguir:

Prove que a sucessão \(x_n\) tal que \(x_1 = 1\) e \(x_{n+1} = \sqrt{3x_n}\)é convergente e calcule o seu limite."

Normalmente não responderia a uma dúvida por email, senão em termos muito genéricos, mas há várias razões pelas quais a questão justifica uma resposta escrita detalhada.

A questão é relativamente rotineira e razoável para colocar em Cálculo I se se tiver mencionado um resultado sobre sucessões ditas contractivas. Este é um tema opcional em Cálculo I embora extremamente importante em Análise Matemática pois tal resultado usa uma ideia que está por detrás de um método de demonstração do Teorema da Função Inversa para funções de \(\mathbb{R}^n\) em \(\mathbb{R}^n\), da convergência do método de Newton-Raphson em Análide Numérica, ou do Teorema de Picard-Lindelöf sobre existência e unicidade de solução de equações diferenciais ordinárias.

Os professores de Cálculo I dividem-se entre a opinião de que tais ideias devem ser introduzidas em Cálculo I e aqueles que acham mais natural introduzi-las em Cálculo II a propósito do Teorema da Função Inversa. Daí que eu suponha que tal questão provém de um semestre em que a primeira opinião era prevalente. No entanto, a questão pode ser respondida no âmbito do que foi leccionado no semestre corrente embora, para que fosse razoável do ponto de vista de avaliação, conviria dividir a questão em alíneas sugerindo o caminho a percorrer. É isto que farei na secção seguinte. Numa secção posterior juntarei algumas palavras sobre sucessões contractivas.

Uma reformulação do problema

O seguinte enunciado alternativo dá várias sugestões de como resolver a questão usando exclusivamente matéria leccionada em Cálculo I (Tagus Park) no 1º semestre de 2013/14:

Considere uma sucessão \((x_n)\) definida por

\[\begin{cases}x_1=1,\\x_{n+1}=\sqrt{3x_n}, \text{ se } n\geq 1.\end{cases}\]

Mostre sucessivamente que:

  1. Para todo o \(n\geq 1\) temos \(x_n\geq 1\).
  2. O sinal de \(x_{n+2}-x_{n+1}\) é igual ao sinal de \(x_{n+1}-x_{n}\) para todo o \(n\). [Sugestão: Considere uma igualdade algébrica envolvendo o "conjugado" de uma diferença de raízes quadradas.]
  3. A sucessão é crescente.
  4. Se existisse \(k \in \mathbb{N}_{1} \) tal que \( x_k > 3\) então \(x_{k+1} < x_{k}\).
  5. A sucessão é majorada.
  6. A sucessão é convergente.
  7. O limite da sucessão é \(3\).

Uma nota sobre sucessões contractivas

Diz-se que um subconjunto de \(\mathbb{R}\) é fechado se qualquer sucessão convergente de termos nesse conjunto tiver limite nesse conjunto.

Pode-se mostrar que são exemplos de subconjuntos fechados de \(\mathbb{R}\): \(\mathbb{R}\), \(\emptyset\), \(]-\infty, c]\), \([d,+\infty[\), \([a,b]\) em que \(a, b, c, d\) são reais quaisquer e que outros exemplos de conjuntos fechados podem ser obtidas tomando uniões de um número finito de conjuntos fechados e intersecções de conjuntos fechados.

Uma sucessão \((x_n)\) de termos num subconjunto \(S\) de \(\mathbb{R}\) diz-se contractiva se existir \(c\in[0,1[\) tal que que \(|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq c|x_{n+1}-x_{n}|\) para todo o \(n\).


O resultado sobre convergência de sucessões contractivas a que nos referimos é:

Seja \((x_n)\) uma sucessão contractiva num subconjunto \(S\) fechado de \(\mathbb{R}\). Então \((x_n)\) é convergente com limite em \(S\).
Esboço da demonstração

Suponha-se, sem perda de generalidade, que a sucessão está definida para $n\geq 1$. A convergência da sucessão é equivalente à da série $\sum_{k=1}^n (x_k - x_{k+1})$. Como para todo o $k\in \mathbb{N}_1$ temos $|x_k - x_{k+1}|\leq c^{k-1} |x_1 - x_2|$ podemos deduzir a convergência absoluta da série a partir da convergência da série geométrica $\sum_{k=1}^nc^{k-1} |x_1 - x_2|$. O facto de os termos da sucessão estarem num conjunto fechado implica que o limite também está nesse conjunto fechado.

No esboço de questões da secção anterior, a igualdade a derivar na questão 2. pode ser usada para estabelecer que a sucessão é contractiva em \([1,+\infty[\) e portanto convergente. Restará então determinar o limite.


Última edição desta versão: João Palhoto Matos, 26/08/2020 07:40:24.